微积分学示例

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2 x^{2} - 5 x + 7}{x^{2} + 5}}$

解题步骤 1

将极限移入根号内。

$\sqrt{lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 5 x + 7}{x^{2} + 5}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{2} - 5 x + 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{2} - lim_{x \to 2} 5 x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

解题步骤 4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5 x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 5 x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

解题步骤 6

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

解题步骤 7

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 5}}$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 5}}$

解题步骤 10

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}$

解题步骤 11

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}$

解题步骤 11.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}$

解题步骤 11.3

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 12.1.1

将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 12.1.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{2^{1} \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

解题步骤 12.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{\frac{2^{1 + 2} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

解题步骤 12.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\sqrt{\frac{2^{3} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

解题步骤 12.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{8 - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

解题步骤 12.3

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{8 - 10 + 7}{2^{2} + 5}}$

解题步骤 12.4

从 $8$ 中减去 $10$ 。

$\sqrt{\frac{- 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

解题步骤 12.5

将 $- 2$ 和 $7$ 相加。

$\sqrt{\frac{5}{2^{2} + 5}}$

解题步骤 12.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{5}{4 + 5}}$

解题步骤 12.7

将 $4$ 和 $5$ 相加。

$\sqrt{\frac{5}{9}}$

解题步骤 12.8

将 $\sqrt{\frac{5}{9}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$ 。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$

解题步骤 12.9

化简分母。

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解题步骤 12.9.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3^{2}}}$

解题步骤 12.9.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

小数形式：

$0.74535599 \dots$

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