微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \sqrt{3 + 4 x^{2}}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{3}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}}}{1}$

解题步骤 1.1.2

用 $4$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{3}{x^{2}} + 4}}{1}$

解题步骤 1.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3}{x^{2}} + 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 1.3

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 1.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 1.5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\sqrt{3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{3 \cdot 0 + 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 3.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{3 \cdot 0 + 4}}{1}$

解题步骤 3.3

化简答案。

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解题步骤 3.3.1

用 $\sqrt{3 \cdot 0 + 4}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{3 \cdot 0 + 4}$

解题步骤 3.3.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\sqrt{0 + 4}$

解题步骤 3.3.3

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$\sqrt{4}$

解题步骤 3.3.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{2^{2}}$

解题步骤 3.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$2$

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