微积分学示例

$\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1

将 $\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

解题步骤 4

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 4.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 4.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

解题步骤 4.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 ${(x + 1)}^{2}$ 。

$\frac{x {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

解题步骤 4.1.4

约去 ${(x + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

约去公因数。

$\frac{x {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

解题步骤 4.1.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

解题步骤 4.1.5

化简每一项。

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解题步骤 4.1.5.1

约去 ${(x + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.5.1.1

约去公因数。

$x = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

解题步骤 4.1.5.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$x = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

解题步骤 4.1.5.2

约去 ${(x + 1)}^{2}$ 和 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.5.2.1

从 $(B) {(x + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$x = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 4.1.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.5.2.2.1

乘以 $1$ 。

$x = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

解题步骤 4.1.5.2.2.2

约去公因数。

$x = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

解题步骤 4.1.5.2.2.3

重写表达式。

$x = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

解题步骤 4.1.5.2.2.4

用 $B (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$x = A + B (x + 1)$

解题步骤 4.1.5.3

运用分配律。

$x = A + B x + B \cdot 1$

解题步骤 4.1.5.4

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$x = A + B x + B$

解题步骤 4.1.6

将 $A$ 和 $B x$ 重新排序。

$x = B x + A + B$

解题步骤 4.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 4.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = B$

解题步骤 4.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 4.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = B$

$0 = A + B$

$1 = B$

$0 = A + B$

解题步骤 4.3

求解方程组。

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解题步骤 4.3.1

将方程重写为 $B = 1$ 。

$B = 1$

$0 = A + B$

解题步骤 4.3.2

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

使用 $1$ 替换 $0 = A + B$ 中所有出现的 $B$ .

$0 = A + 1$

$B = 1$

解题步骤 4.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.2.1

去掉圆括号。

$0 = A + 1$

$B = 1$

$0 = A + 1$

$B = 1$

$0 = A + 1$

$B = 1$

解题步骤 4.3.3

在 $0 = A + 1$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

将方程重写为 $A + 1 = 0$ 。

$A + 1 = 0$

$B = 1$

解题步骤 4.3.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

解题步骤 4.3.4

求解方程组。

$A = - 1 B = 1$

解题步骤 4.3.5

列出所有解。

$A = - 1, B = 1$

解题步骤 4.4

将 $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{x + 1}$

解题步骤 4.5

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 7

使 $u_{1} = x + 1$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u_{1} = x + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 7.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 7.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 7.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 7.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 8

应用指数的基本规则。

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解题步骤 8.1

通过将 ${u_{1}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 8.2

将 ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 8.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， ${u_{1}}^{- 2}$ 对 $u_{1}$ 的积分是 $- {u_{1}}^{- 1}$ 。

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 10

使 $u_{2} = x + 1$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u_{2} = x + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 10.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 10.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 10.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 10.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 11

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简。

$- - \frac{1}{u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 12.2

化简。

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解题步骤 12.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{1}{u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 12.2.2

将 $\frac{1}{u_{1}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 13

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 13.1

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{x + 1} + \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 13.2

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{x + 1} + \ln (| x + 1 |) + C$

解题步骤 14

答案是函数 $f (x) = \frac{x}{{(x + 1)}^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{x + 1} + \ln (| x + 1 |) + C$

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