微积分学示例

$\int (2 x^{3} + 2 x) u (x) d x = x^{6} + 2 x^{4} + x^{2} + C$

解题步骤 1

由于 $u$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $u$ 移到积分外。

$u \int (2 x^{3} + 2 x) (x) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$u \int 2 x^{3} x + 2 x \cdot x d x$

解题步骤 2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$u \int 2 (x^{3} x^{1}) + 2 x \cdot x d x$

解题步骤 2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u \int 2 x^{3 + 1} + 2 x \cdot x d x$

解题步骤 2.4

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$u \int 2 x^{4} + 2 x \cdot x d x$

解题步骤 2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$u \int 2 x^{4} + 2 (x^{1} x) d x$

解题步骤 2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$u \int 2 x^{4} + 2 (x^{1} x^{1}) d x$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u \int 2 x^{4} + 2 x^{1 + 1} d x$

解题步骤 2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u \int 2 x^{4} + 2 x^{2} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$u (\int 2 x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x)$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$u (2 \int x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$u (2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 2 x^{2} d x)$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$u (2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 2 \int x^{2} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$u (2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$u (\frac{2 x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3}) + C$

解题步骤 8.2

重新排序项。

$u (\frac{2}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3}) + C$

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