微积分学示例

$y = 12 \sin (w t + π)$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

因为 $12$ 对于 $w$ 是常数，所以 $12 \sin (w t + π)$ 对 $w$ 的导数是 $12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ 。

$12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 等于 $f' (g (w)) g' (w)$ ，其中 $f (w) = \sin (w)$ 且 $g (w) = w t + π$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $w t + π$ 。

$12 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

解题步骤 1.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$12 (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

解题步骤 1.2.3

使用 $w t + π$ 替换所有出现的 $u$ 。

$12 (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

解题步骤 1.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $w t + π$ 对 $w$ 的导数是 $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ 。

$12 \cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π])$

解题步骤 1.3.2

因为 $t$ 对于 $w$ 是常数，所以 $w t$ 对 $w$ 的导数是 $t \frac{d}{d w} [w]$ 。

$12 \cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π])$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 \cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π])$

解题步骤 1.3.4

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$12 \cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π])$

解题步骤 1.3.5

因为 $π$ 对于 $w$ 是常数，所以 $π$ 对 $w$ 的导数为 $0$ 。

$12 \cos (w t + π) (t + 0)$

解题步骤 1.3.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.6.1

将 $t$ 和 $0$ 相加。

$12 \cos (w t + π) t$

解题步骤 1.3.6.2

重新排序 $12 \cos (w t + π) t$ 的因式。

$f' (w) = 12 t \cos (w t + π)$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为 $12 t$ 对于 $w$ 是常数，所以 $12 t \cos (w t + π)$ 对 $w$ 的导数是 $12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$ 。

$12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 等于 $f' (g (w)) g' (w)$ ，其中 $f (w) = \cos (w)$ 且 $g (w) = w t + π$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $w t + π$ 。

$12 t (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

解题步骤 2.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$12 t (- \sin (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

解题步骤 2.2.3

使用 $w t + π$ 替换所有出现的 $u$ 。

$12 t (- \sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

解题步骤 2.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$- 12 t (\sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $w t + π$ 对 $w$ 的导数是 $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ 。

$- 12 t (\sin (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

解题步骤 2.3.3

因为 $t$ 对于 $w$ 是常数，所以 $w t$ 对 $w$ 的导数是 $t \frac{d}{d w} [w]$ 。

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

解题步骤 2.3.5

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

解题步骤 2.3.6

因为 $π$ 对于 $w$ 是常数，所以 $π$ 对 $w$ 的导数为 $0$ 。

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + 0))$

解题步骤 2.3.7

将 $t$ 和 $0$ 相加。

$- 12 t (\sin (w t + π) t)$

解题步骤 2.4

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 12 (t^{1} t) \sin (w t + π)$

解题步骤 2.5

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 12 (t^{1} t^{1}) \sin (w t + π)$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 12 t^{1 + 1} \sin (w t + π)$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (w) = - 12 t^{2} \sin (w t + π)$

解题步骤 3

求三阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

因为 $- 12 t^{2}$ 对于 $w$ 是常数，所以 $- 12 t^{2} \sin (w t + π)$ 对 $w$ 的导数是 $- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ 。

$- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 等于 $f' (g (w)) g' (w)$ ，其中 $f (w) = \sin (w)$ 且 $g (w) = w t + π$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $w t + π$ 。

$- 12 t^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

解题步骤 3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$- 12 t^{2} (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

解题步骤 3.2.3

使用 $w t + π$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

解题步骤 3.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $w t + π$ 对 $w$ 的导数是 $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ 。

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

解题步骤 3.3.2

因为 $t$ 对于 $w$ 是常数，所以 $w t$ 对 $w$ 的导数是 $t \frac{d}{d w} [w]$ 。

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

解题步骤 3.3.4

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

解题步骤 3.3.5

因为 $π$ 对于 $w$ 是常数，所以 $π$ 对 $w$ 的导数为 $0$ 。

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + 0))$

解题步骤 3.3.6

将 $t$ 和 $0$ 相加。

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) t)$

解题步骤 3.4

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 12 (t^{1} t^{2}) \cos (w t + π)$

解题步骤 3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 12 t^{1 + 2} \cos (w t + π)$

解题步骤 3.6

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f''' (w) = - 12 t^{3} \cos (w t + π)$

微积分学 示例

微积分学示例