微积分学示例

$\int_{- 4}^{4} 3 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{- 4}^{4} \sqrt{x} d x$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 \int_{- 4}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{- 4}^{4})$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 4}^{4})$

解题步骤 4.2

代入并化简。

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解题步骤 4.2.1

计算 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 在 $4$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.3.1

约去公因数。

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.3.2

重写表达式。

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.5

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$3 (\frac{16}{3}) + 3 (- \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 5.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

约去公因数。

$3 (\frac{16}{3}) + 3 (- \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 5.2.2

重写表达式。

$16 + 3 (- \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 5.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

将 $- \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$16 + 3 \frac{- 2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

解题步骤 5.3.2

约去公因数。

$16 + 3 \frac{- 2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

解题步骤 5.3.3

重写表达式。

$16 - 2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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