微积分学示例

$lim_{x \to π} \frac{x + π \sec (x)}{x^{2} - π^{2}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to π} x + π \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $π$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to π} x + lim_{x \to π} π \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

解题步骤 1.2.2

因为项 $π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{lim_{x \to π} x + π lim_{x \to π} \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

解题步骤 1.2.3

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{lim_{x \to π} x + π \sec (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

解题步骤 1.2.4

将 $π$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $π$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{π + π \sec (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

解题步骤 1.2.4.2

将 $π$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{π + π \sec (π)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

解题步骤 1.2.5

化简答案。

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解题步骤 1.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.5.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\frac{π + π (- \sec (0))}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

解题步骤 1.2.5.1.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{π + π (- 1 \cdot 1)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

解题步骤 1.2.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π + π \cdot - 1}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

解题步骤 1.2.5.1.4

将 $- 1$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{π - 1 \cdot π}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

解题步骤 1.2.5.1.5

将 $- 1 π$ 重写为 $- π$ 。

$\frac{π - π}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

解题步骤 1.2.5.2

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $π$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

解题步骤 1.3.1.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

解题步骤 1.3.1.3

计算 $π^{2}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $π$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - π^{2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $π$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{π^{2} - π^{2}}$

解题步骤 1.3.3

从 $π^{2}$ 中减去 $π^{2}$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to π} \frac{x + π \sec (x)}{x^{2} - π^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x + π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x + π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x + π \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]$ 。

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to π} \frac{1 + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [π \sec (x)]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 。

$lim_{x \to π} \frac{1 + π \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

解题步骤 3.4.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$lim_{x \to π} \frac{1 + π (\sec (x) \tan (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

解题步骤 3.4.3

去掉圆括号。

$lim_{x \to π} \frac{1 + π \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

解题步骤 3.5

重新排序项。

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

解题步骤 3.6

根据加法法则， $x^{2} - π^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]$ 。

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

解题步骤 3.8

因为 $- π^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- π^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x + 0}$

解题步骤 3.9

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{x}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $π$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} π \sec (x) \tan (x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $π$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} π \sec (x) \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

解题步骤 7

因为项 $π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π lim_{x \to π} \sec (x) \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $π$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π lim_{x \to π} \sec (x) \cdot lim_{x \to π} \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

解题步骤 9

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot lim_{x \to π} \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

解题步骤 10

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

解题步骤 11

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $π$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

解题步骤 12

将 $π$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 12.1

将 $π$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

解题步骤 12.2

将 $π$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (π) + 1}{lim_{x \to π} x}$

解题步骤 12.3

将 $π$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

化简分子。

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解题步骤 13.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π (- \sec (0)) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

解题步骤 13.1.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π (- 1 \cdot 1) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

解题步骤 13.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \cdot - 1 \cdot \tan (π) + 1}{π}$

解题步骤 13.1.4

将 $- 1$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot π \cdot \tan (π) + 1}{π}$

解题步骤 13.1.5

将 $- 1 π$ 重写为 $- π$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot \tan (π) + 1}{π}$

解题步骤 13.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot (- \tan (0)) + 1}{π}$

解题步骤 13.1.7

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot (- 0) + 1}{π}$

解题步骤 13.1.8

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot 0 + 1}{π}$

解题步骤 13.1.9

乘以 $- π \cdot 0$ 。

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解题步骤 13.1.9.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 π + 1}{π}$

解题步骤 13.1.9.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1}{π}$

解题步骤 13.1.10

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

解题步骤 13.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{π}$ 。

$\frac{1}{2 π}$

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