微积分学示例

$x' = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

解题步骤 1

重写微分方程。

$\frac{d x}{d t} = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

解题步骤 2

分离变量。

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解题步骤 2.1

从 $3 x t^{2} - 3 t^{2}$ 中分解出因数 $3 t^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $3 x t^{2}$ 中分解出因数 $3 t^{2}$ 。

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) - 3 t^{2}$

解题步骤 2.1.2

从 $- 3 t^{2}$ 中分解出因数 $3 t^{2}$ 。

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$

解题步骤 2.1.3

从 $3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$ 中分解出因数 $3 t^{2}$ 。

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x - 1)$

解题步骤 2.2

两边同时乘以 $\frac{1}{x - 1}$ 。

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x - 1} (3 t^{2} (x - 1))$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 \frac{1}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

解题步骤 2.3.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x - 1}$ 。

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

解题步骤 2.3.3

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1

从 $t^{2} (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

解题步骤 2.3.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

解题步骤 2.3.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 t^{2}$

解题步骤 2.4

重写该方程。

$\frac{1}{x - 1} d x = 3 t^{2} d t$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{x - 1} d x = \int 3 t^{2} d t$

解题步骤 3.2

对左边积分。

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解题步骤 3.2.1

使 $u = x - 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.2.1.1

设 $u = x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 3.2.1.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.2.1.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 3.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u = \int 3 t^{2} d t$

解题步骤 3.2.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

解题步骤 3.2.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

由于 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

解题步骤 3.3.2

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

解题步骤 3.3.3

化简答案。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ 重写为 $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ 。

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3.2

化简。

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解题步骤 3.3.3.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.2.1

约去公因数。

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3.2.2.2

重写表达式。

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3.2.3

将 $t^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| x - 1 |)} = e^{t^{3} + C}$

解题步骤 4.2

使用对数的定义将 $\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{t^{3} + C} = | x - 1 |$

解题步骤 4.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

将方程重写为 $| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$ 。

$| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$

解题步骤 4.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x - 1 = \pm e^{t^{3} + C}$

解题步骤 4.3.3

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = \pm e^{t^{3} + C} + 1$

解题步骤 5

将常数项组合在一起。

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解题步骤 5.1

将 $e^{t^{3} + C}$ 重写为 $e^{t^{3}} e^{C}$ 。

$x = \pm e^{t^{3}} e^{C} + 1$

解题步骤 5.2

将 $e^{t^{3}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$x = \pm e^{C} e^{t^{3}} + 1$

解题步骤 5.3

用加号或减号合并常数。

$x = C e^{t^{3}} + 1$

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