微积分学示例

$\cos^{5} (x)$

解题步骤 1

将 $\cos^{5} (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \cos^{5} (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \cos^{5} (x) d x$

解题步骤 4

因式分解出 $\cos^{4} (x)$ 。

$\int \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

解题步骤 5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

解题步骤 5.2

将 ${\cos (x)}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$\int {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

解题步骤 6

使用勾股定理，将 $\cos^{2} (x)$ 重写成 $1 - \sin^{2} (x)$ 的形式。

$\int {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

解题步骤 7

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 7.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

解题步骤 8

展开 ${(1 - u^{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 8.1

将 ${(1 - u^{2})}^{2}$ 重写为 $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ 。

$\int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

解题步骤 8.4

运用分配律。

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

解题步骤 8.5

移动 $u^{2}$ 。

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

解题步骤 8.6

移动 $u^{2}$ 。

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 8.7

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 8.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 8.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 8.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 8.11

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 8.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

解题步骤 8.13

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

解题步骤 8.14

从 $- u^{2}$ 中减去 $u^{2}$ 。

$\int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

解题步骤 8.15

将 $- 2 u^{2}$ 和 $u^{4}$ 重新排序。

$\int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

解题步骤 8.16

移动 $1$ 。

$\int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

解题步骤 11

由于 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u$

解题步骤 12

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

解题步骤 13

应用常数不变法则。

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

解题步骤 14.2

化简。

$\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

解题步骤 15

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\sin^{5} (x)}{5} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + C$

解题步骤 16

重新排序项。

$\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

解题步骤 17

答案是函数 $f (x) = \cos^{5} (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

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