微积分学示例

$a^{3} y = x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$ 。

$a^{3} y - x^{2} (2 a^{2} - x^{2}) = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$a^{3} y - x^{2} (2 a^{2}) - x^{2} (- x^{2}) = 0$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$a^{3} y - 1 \cdot 2 x^{2} a^{2} - x^{2} (- x^{2}) = 0$

解题步骤 2.3

使用乘法的交换性质重写。

$a^{3} y - 1 \cdot 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} = 0$

解题步骤 2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) = 0$

解题步骤 2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} = 0$

解题步骤 2.4.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4} = 0$

解题步骤 2.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + 1 x^{4} = 0$

解题步骤 2.4.4

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4} = 0$

解题步骤 3

求一阶导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4}$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [a^{3} y] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d a} [a^{3} y] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 3.1.2

计算 $\frac{d}{d a} [a^{3} y]$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

因为 $y$ 对于 $a$ 是常数，所以 $a^{3} y$ 对 $a$ 的导数是 $y \frac{d}{d a} [a^{3}]$ 。

$y \frac{d}{d a} [a^{3}] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 3.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$y (3 a^{2}) + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 3.1.2.3

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$3 y a^{2} + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $- 2 x^{2}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $- 2 x^{2} a^{2}$ 对 $a$ 的导数是 $- 2 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{2}]$ 。

$3 y a^{2} - 2 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 y a^{2} - 2 x^{2} (2 a) + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 3.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 3.1.4

因为 $x^{4}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $x^{4}$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a + 0$

解题步骤 3.1.5

化简。

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解题步骤 3.1.5.1

将 $3 y a^{2} - 4 x^{2} a$ 和 $0$ 相加。

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a$

解题步骤 3.1.5.2

重新排序项。

$f' (a) = 3 a^{2} y - 4 x^{2} a$

解题步骤 3.2

$f (a)$ 对 $a$ 的一阶导数是 $3 a^{2} y - 4 x^{2} a$ 。

$3 a^{2} y - 4 x^{2} a$

解题步骤 4

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 a^{2} y - 4 x^{2} a = 0$ 。

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解题步骤 4.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 a^{2} y - 4 x^{2} a = 0$

解题步骤 4.2

从 $3 a^{2} y - 4 x^{2} a$ 中分解出因数 $a$ 。

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解题步骤 4.2.1

从 $3 a^{2} y$ 中分解出因数 $a$ 。

$a (3 a y) - 4 x^{2} a = 0$

解题步骤 4.2.2

从 $- 4 x^{2} a$ 中分解出因数 $a$ 。

$a (3 a y) + a (- 4 x^{2}) = 0$

解题步骤 4.2.3

从 $a (3 a y) + a (- 4 x^{2})$ 中分解出因数 $a$ 。

$a (3 a y - 4 x^{2}) = 0$

解题步骤 4.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$a = 0$

$3 a y - 4 x^{2} = 0$

解题步骤 4.4

将 $a$ 设为等于 $0$ 。

$a = 0$

解题步骤 4.5

将 $3 a y - 4 x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $a$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $3 a y - 4 x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$3 a y - 4 x^{2} = 0$

解题步骤 4.5.2

求解 $a$ 的 $3 a y - 4 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.5.2.1

在等式两边都加上 $4 x^{2}$ 。

$3 a y = 4 x^{2}$

解题步骤 4.5.2.2

将 $3 a y = 4 x^{2}$ 中的每一项除以 $3 y$ 并化简。

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解题步骤 4.5.2.2.1

将 $3 a y = 4 x^{2}$ 中的每一项都除以 $3 y$ 。

$\frac{3 a y}{3 y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

解题步骤 4.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.5.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 a y}{3 y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

解题步骤 4.5.2.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{a y}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

解题步骤 4.5.2.2.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{a y}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

解题步骤 4.5.2.2.2.2.2

用 $a$ 除以 $1$ 。

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

解题步骤 4.6

最终解为使 $a (3 a y - 4 x^{2}) = 0$ 成立的所有值。

$a = 0$

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

$a = 0$

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

解题步骤 5

求使导数无意义的值。

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解题步骤 5.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 6

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $a$ 值，计算 $a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4}$ 。

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解题步骤 6.1

在 $a = 0$ 处计算

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解题步骤 6.1.1

代入 $0$ 替换 $a$ 。

${(0)}^{3} y - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

解题步骤 6.1.2

化简。

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解题步骤 6.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 y - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

解题步骤 6.1.2.1.2

将 $0$ 乘以 $y$ 。

$0 - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

解题步骤 6.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 2 x^{2} \cdot 0 + x^{4}$

解题步骤 6.1.2.1.4

乘以 $- 2 x^{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 6.1.2.1.4.1

将 $0$ 乘以 $- 2$ 。

$0 + 0 x^{2} + x^{4}$

解题步骤 6.1.2.1.4.2

将 $0$ 乘以 $x^{2}$ 。

$0 + 0 + x^{4}$

解题步骤 6.1.2.2

合并 $0 + 0 + x^{4}$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + x^{4}$

解题步骤 6.1.2.2.2

将 $0$ 和 $x^{4}$ 相加。

$x^{4}$

解题步骤 6.2

在 $a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$ 处计算

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解题步骤 6.2.1

代入 $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ 替换 $a$ 。

${(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{3} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

对 $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ 运用乘积法则。

$\frac{{(4 x^{2})}^{3}}{{(3 y)}^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

对 $4 x^{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(3 y)}^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.1.3

对 $3 y$ 运用乘积法则。

$\frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{64 {(x^{2})}^{3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

将 ${(x^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{64 x^{2 \cdot 3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{64 x^{6}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.4.1

从 $27 y^{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{64 x^{6}}{y (27 y^{2})} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.4.2

约去公因数。

$\frac{64 x^{6}}{y (27 y^{2})} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.4.3

重写表达式。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.5

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.2.1.5.1

对 $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ 运用乘积法则。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{{(4 x^{2})}^{2}}{{(3 y)}^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.5.2

对 $4 x^{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{4^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(3 y)}^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.5.3

对 $3 y$ 运用乘积法则。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{4^{2} {(x^{2})}^{2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.6

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.1.6.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 {(x^{2})}^{2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.6.2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.1.6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{2 \cdot 2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.6.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.7

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{9 y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.8

乘以 $- 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{9 y^{2}}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.8.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{16 x^{4}}{9 y^{2}}$ 。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{2} \frac{- 2 (16 x^{4})}{9 y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.8.2

将 $16$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{2} \frac{- 32 x^{4}}{9 y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.8.3

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{- 32 x^{4}}{9 y^{2}}$ 。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{2} (- 32 x^{4})}{9 y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.8.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.8.4.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{4} x^{2} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.8.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{4 + 2} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.8.4.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{6} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.9

将 $- 32$ 移到 $x^{6}$ 的左侧。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{- 32 \cdot x^{6}}{9 y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.1.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.2

要将 $- \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}} \cdot \frac{3}{3} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27 y^{2}$ 的形式。

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解题步骤 6.2.2.3.1

将 $\frac{32 x^{6}}{9 y^{2}}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6} \cdot 3}{9 y^{2} \cdot 3} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.3.2

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{64 x^{6} - 32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.5

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.5.1.1

从 $64 x^{6} - 32 x^{6} \cdot 3$ 中分解出因数 $32 x^{6}$ 。

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解题步骤 6.2.2.5.1.1.1

从 $64 x^{6}$ 中分解出因数 $32 x^{6}$ 。

$\frac{32 x^{6} (2) - 32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.5.1.1.2

从 $- 32 x^{6} \cdot 3$ 中分解出因数 $32 x^{6}$ 。

$\frac{32 x^{6} (2) + 32 x^{6} (- 1 \cdot 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.5.1.1.3

从 $32 x^{6} (2) + 32 x^{6} (- 1 \cdot 3)$ 中分解出因数 $32 x^{6}$ 。

$\frac{32 x^{6} (2 - 1 \cdot 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{32 x^{6} (2 - 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.5.1.3

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{32 x^{6} \cdot - 1}{27 y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $32$ 。

$\frac{- 32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.2.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4}$

解题步骤 6.3

列出所有的点。

$(0, x^{4}), (\frac{4 x^{2}}{3 y}, - \frac{32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4})$

解题步骤 7

微积分学 示例

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