微积分学示例

$\int x^{2} (5^{x^{3}} - 3^{2 x^{3}}) d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = x^{3}$ 。然后使 $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = x^{3}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2}$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int (5^{u_{1}} - 3^{2 u_{1}}) \frac{1}{3} d u_{1}$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int 5^{u_{1}} - 3^{2 u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{3} (\int 5^{u_{1}} d u_{1} + \int - 3^{2 u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 4

$5^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C + \int - 3^{2 u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \int 3^{2 u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6

使 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $2 u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

解题步骤 6.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \int 3^{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2})$

解题步骤 7

组合 $3^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \int \frac{3^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - (\frac{1}{2} \int 3^{u_{2}} d u_{2}))$

解题步骤 9

$3^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \frac{1}{2} (\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)} + C))$

解题步骤 10

化简。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} - \frac{3^{u_{2}}}{2 \ln (3)}) + C$

解题步骤 11

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 11.1

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} - \frac{3^{u_{2}}}{2 \ln (3)}) + C$

解题步骤 11.2

使用 $2 u_{1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} - \frac{3^{2 u_{1}}}{2 \ln (3)}) + C$

解题步骤 11.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}) + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

运用分配律。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} + \frac{1}{3} (- \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}) + C$

解题步骤 12.2

合并。

$\frac{1 \cdot 5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} + \frac{1}{3} (- \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}) + C$

解题步骤 12.3

乘以 $\frac{1}{3} (- \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)})$ 。

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解题步骤 12.3.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}$ 。

$\frac{1 \cdot 5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{3 (2 \ln (3))} + C$

解题步骤 12.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1 \cdot 5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{6 \ln (3)} + C$

解题步骤 12.4

将 $5^{x^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{6 \ln (3)} + C$

解题步骤 13

重新排序项。

$\frac{1}{3 \ln (5)} \cdot 5^{x^{3}} - \frac{1}{6 \ln (3)} \cdot 3^{2 x^{3}} + C$

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