微积分学示例

$\frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{x \sqrt{x}} d x$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

解题步骤 4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

解题步骤 4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

解题步骤 4.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}} \cdot (d x) d x$

解题步骤 4.2.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot (d x) d x$

解题步骤 4.3

组合 $d$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot x d x$

解题步骤 4.4

组合 $\frac{d}{x^{\frac{3}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\int \frac{d x}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

解题步骤 4.5

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{1}$ 移动到分母。

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}} d x$

解题步骤 4.6

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 4.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} - 1}} d x$

解题步骤 4.6.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d x$

解题步骤 4.6.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d x$

解题步骤 4.6.4

在公分母上合并分子。

$\int \frac{d}{x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} d x$

解题步骤 4.6.5

化简分子。

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解题步骤 4.6.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{d}{x^{\frac{3 - 2}{2}}} d x$

解题步骤 4.6.5.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\int \frac{d}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 5

由于 $d$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $d$ 移到积分外。

$d \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$d \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 6.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$d \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 6.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$d \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 6.2.3

将负号移到分数的前面。

$d \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$d (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

将 $d (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ 重写为 $d \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ 。

$d \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 8.2

将 $2$ 移到 $d$ 的左侧。

$2 d x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot (d x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 d x^{\frac{1}{2}} + C$

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