微积分学示例

$f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- \frac{2}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{5} x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$- \frac{2}{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 (\frac{2}{5}) x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $- 6$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{- 6 \cdot 2}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.5

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 12}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.6

组合 $\frac{- 12}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{- 12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 (4 x^{3})$

解题步骤 1.1.3.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$f' (x) = - \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $- \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $- \frac{12}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{12 x^{5}}{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- \frac{12}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 (\frac{12}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{12}{5}$ 。

$\frac{- 5 \cdot 12}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.5

将 $- 5$ 乘以 $12$ 。

$\frac{- 60}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.6

组合 $\frac{- 60}{5}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{- 60 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.7

约去 $- 60$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.7.1

从 $- 60 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.2.7.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{- 12 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.7.2.4

用 $- 12 x^{4}$ 除以 $1$ 。

$- 12 x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 12 x^{4} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 12 x^{4} + 20 (3 x^{2})$

解题步骤 1.2.3.3

将 $3$ 乘以 $20$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{4} + 60 x^{2}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 12 x^{4} + 60 x^{2}$ 。

$- 12 x^{4} + 60 x^{2}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 12 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 12 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- 12 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$- 12 u^{2} + 60 u = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $- 12 u^{2} + 60 u$ 中分解出因数 $12 u$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

从 $- 12 u^{2}$ 中分解出因数 $12 u$ 。

$12 u (- u) + 60 u = 0$

解题步骤 2.2.3.2

从 $60 u$ 中分解出因数 $12 u$ 。

$12 u (- u) + 12 u (5) = 0$

解题步骤 2.2.3.3

从 $12 u (- u) + 12 u (5)$ 中分解出因数 $12 u$ 。

$12 u (- u + 5) = 0$

解题步骤 2.2.4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$12 x^{2} (- x^{2} + 5) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 5 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $- x^{2} + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $- x^{2} + 5$ 设为等于 $0$ 。

$- x^{2} + 5 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $- x^{2} + 5 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- x^{2} = - 5$

解题步骤 2.5.2.2

将 $- x^{2} = - 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将 $- x^{2} = - 5$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.2.3.1

用 $- 5$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 5$

解题步骤 2.5.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{5}$

解题步骤 2.5.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 2.5.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{5}$

解题步骤 2.5.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $12 x^{2} (- x^{2} + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - \frac{2}{5} \cdot {(0)}^{6} + 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = - \frac{2}{5} \cdot 0 + 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2.1.2

乘以 $- \frac{2}{5} \cdot 0$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$f (0) = 0 (\frac{2}{5}) + 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2.1.2.2

将 $0$ 乘以 $\frac{2}{5}$ 。

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 3.3

将 $\sqrt{5}$ 代入 $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $\sqrt{5}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(\sqrt{5})}^{6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${\sqrt{5}}^{6}$ 重写为 $5^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{6}{2}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.1.4

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{3}{1}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.1.4.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

将 $- \frac{2}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

从 $5^{3}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2.3

约去公因数。

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2.4

重写表达式。

$f (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $25$ 。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.5

将 ${\sqrt{5}}^{4}$ 重写为 $5^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

解题步骤 3.3.2.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{4}{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.5.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.5.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.5.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

解题步骤 3.3.2.1.5.4.2.2

约去公因数。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

解题步骤 3.3.2.1.5.4.2.3

重写表达式。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2}{1}}$

解题步骤 3.3.2.1.5.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.6

通过指数相加将 $5$ 乘以 $5^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.6.1

将 $5$ 乘以 $5^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.6.1.1

对 $5$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5^{1 + 2}$

解题步骤 3.3.2.1.6.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.7

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 125$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 50$ 和 $125$ 相加。

$f (\sqrt{5}) = 75$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $75$ 。

$75$

解题步骤 3.4

通过将 $\sqrt{5}$ 代入 $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ 中求得的点为 $(\sqrt{5}, 75)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\sqrt{5}, 75)$

解题步骤 3.5

将 $- \sqrt{5}$ 代入 $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.5.1

使用表达式中的 $- \sqrt{5}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(- \sqrt{5})}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2

化简结果。

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解题步骤 3.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1.1

对 $- \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot ({(- 1)}^{6} {\sqrt{5}}^{6}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{6}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.2.1

移动 ${(- 1)}^{6}$ 。

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6} \cdot (- 1 (\frac{2}{5})) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.2.2

将 ${(- 1)}^{6}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6} \cdot ((- 1) (\frac{2}{5})) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6 + 1} (\frac{2}{5}) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.2.3

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{7} (\frac{2}{5}) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $7$ 次方运算。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.4

将 ${\sqrt{5}}^{6}$ 重写为 $5^{3}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{6}{2}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.4.4

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.4.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.4.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.4.4.2.2

约去公因数。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.4.4.2.3

重写表达式。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{3}{1}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.4.4.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.5

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.5.1

将 $- \frac{2}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.5.2

从 $5^{3}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.5.3

约去公因数。

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.5.4

重写表达式。

$f (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.6

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.7

将 $- 2$ 乘以 $25$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.8

对 $- \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{5}}^{4})$

解题步骤 3.5.2.1.9

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 (1 {\sqrt{5}}^{4})$

解题步骤 3.5.2.1.10

将 ${\sqrt{5}}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {\sqrt{5}}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.11

将 ${\sqrt{5}}^{4}$ 重写为 $5^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.11.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.11.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

解题步骤 3.5.2.1.11.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{4}{2}}$

解题步骤 3.5.2.1.11.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.11.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.5.2.1.11.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.11.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

解题步骤 3.5.2.1.11.4.2.2

约去公因数。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

解题步骤 3.5.2.1.11.4.2.3

重写表达式。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2}{1}}$

解题步骤 3.5.2.1.11.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

解题步骤 3.5.2.1.12

通过指数相加将 $5$ 乘以 $5^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.12.1

将 $5$ 乘以 $5^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.12.1.1

对 $5$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

解题步骤 3.5.2.1.12.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5^{1 + 2}$

解题步骤 3.5.2.1.12.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.13

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 125$

解题步骤 3.5.2.2

将 $- 50$ 和 $125$ 相加。

$f (- \sqrt{5}) = 75$

解题步骤 3.5.2.3

最终答案为 $75$ 。

$75$

解题步骤 3.6

通过将 $- \sqrt{5}$ 代入 $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ 中求得的点为 $(- \sqrt{5}, 75)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- \sqrt{5}, 75)$

解题步骤 3.7

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (\sqrt{5}, 75), (- \sqrt{5}, 75)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - \sqrt{5}) \cup (- \sqrt{5}, 0) \cup (0, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - \sqrt{5})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2.33606797$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2.33606797) = - 12 {(- 2.33606797)}^{4} + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 2.33606797$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 2.33606797) = - 12 \cdot 29.78118022 + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 12$ 乘以 $29.78118022$ 。

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 2.33606797$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 60 \cdot 5.45721359$

解题步骤 5.2.1.4

将 $60$ 乘以 $5.45721359$ 。

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 327.43281572$

解题步骤 5.2.2

将 $- 357.37416272$ 和 $327.43281572$ 相加。

$f'' (- 2.33606797) = - 29.94134699$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 29.94134699$ 。

$- 29.94134699$

解题步骤 5.3

在 $- 2.33606797$ ，二阶导数为 $- 29.94134699$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - \sqrt{5})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - \sqrt{5})$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- \sqrt{5}, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1.11803398$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1.11803398) = - 12 {(- 1.11803398)}^{4} + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 1.11803398$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 1.11803398) = - 12 \cdot 1.5625 + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 12$ 乘以 $1.5625$ 。

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $- 1.11803398$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 60 \cdot 1.25$

解题步骤 6.2.1.4

将 $60$ 乘以 $1.25$ 。

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 75$

解题步骤 6.2.2

将 $- 18.75$ 和 $75$ 相加。

$f'' (- 1.11803398) = 56.25$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $56.25$ 。

$56.25$

解题步骤 6.3

在 $- 1.11803398$ 处，二阶导数为 $56.25$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \sqrt{5}, 0)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \sqrt{5}, 0)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(0, \sqrt{5})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1.11803398$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.11803398) = - 12 {(1.11803398)}^{4} + 60 {(1.11803398)}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $1.11803398$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (1.11803398) = - 12 \cdot 1.5625 + 60 {(1.11803398)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 12$ 乘以 $1.5625$ 。

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 60 {(1.11803398)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

对 $1.11803398$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 60 \cdot 1.25$

解题步骤 7.2.1.4

将 $60$ 乘以 $1.25$ 。

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 75$

解题步骤 7.2.2

将 $- 18.75$ 和 $75$ 相加。

$f'' (1.11803398) = 56.25$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $56.25$ 。

$56.25$

解题步骤 7.3

在 $1.11803398$ 处，二阶导数为 $56.25$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0, \sqrt{5})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \sqrt{5})$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(\sqrt{5}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $2.33606797$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.33606797) = - 12 {(2.33606797)}^{4} + 60 {(2.33606797)}^{2}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $2.33606797$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (2.33606797) = - 12 \cdot 29.78118022 + 60 {(2.33606797)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 12$ 乘以 $29.78118022$ 。

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 60 {(2.33606797)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.3

对 $2.33606797$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 60 \cdot 5.45721359$

解题步骤 8.2.1.4

将 $60$ 乘以 $5.45721359$ 。

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 327.43281572$

解题步骤 8.2.2

将 $- 357.37416272$ 和 $327.43281572$ 相加。

$f'' (2.33606797) = - 29.94134699$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $- 29.94134699$ 。

$- 29.94134699$

解题步骤 8.3

在 $2.33606797$ ，二阶导数为 $- 29.94134699$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(\sqrt{5}, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(\sqrt{5}, \infty)$ 上递减

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- \sqrt{5}, 75), (\sqrt{5}, 75)$ 。

$(- \sqrt{5}, 75), (\sqrt{5}, 75)$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例