微积分学示例

$y = \arctan (\sqrt{x - 3})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x - 3}$ 重写成 ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

$\arctan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{1 + {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

将 ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{1 + {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{1 + {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{1 + {(x - 3)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4

化简。

$\frac{1}{1 + x - 3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 5

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x - 3$ 。

$\frac{1}{x - 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3])$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x - 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

解题步骤 6.3

使用 $x - 3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{x - 2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x - 2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x - 2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x - 2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{x - 2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

解题步骤 10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{x - 2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

解题步骤 11

合并分数。

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解题步骤 11.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x - 2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x - 2} (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 3])$

解题步骤 11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{x - 2} (\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

解题步骤 11.4

将 $\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x - 2}$ 。

$\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (x - 2)} \frac{d}{d x} [x - 3]$

解题步骤 12

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (x - 2)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (x - 2)} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 14

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (x - 2)} (1 + 0)$

解题步骤 15

化简表达式。

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解题步骤 15.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (x - 2)} \cdot 1$

解题步骤 15.2

将 $\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (x - 2)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (x - 2)}$

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