微积分学示例

$3 x^{5} + 4 x^{4} - 18 x^{2} + 6 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 x^{5} + 4 x^{4} - 18 x^{2} + 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 1.2.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$15 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$15 x^{4} + 4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 1.3.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$15 x^{4} + 16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 18$ 。

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 1.5

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 1.5.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + 6 \cdot 1$

解题步骤 1.5.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + 6$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$60 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$60 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$60 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$60 x^{3} + 48 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$60 x^{3} + 48 x^{2} - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.4.3

将 $- 36$ 乘以 $1$ 。

$60 x^{3} + 48 x^{2} - 36 + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.5.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$60 x^{3} + 48 x^{2} - 36 + 0$

解题步骤 2.5.2

将 $60 x^{3} + 48 x^{2} - 36$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 60 x^{3} + 48 x^{2} - 36$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $60 x^{3} + 48 x^{2} - 36$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ 。

$\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $60 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

解题步骤 3.2.3

将 $3$ 乘以 $60$ 。

$180 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $48 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$180 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$180 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36]$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 乘以 $48$ 。

$180 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 36]$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$180 x^{2} + 96 x + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $180 x^{2} + 96 x$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = 180 x^{2} + 96 x$

微积分学 示例

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