微积分学示例

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$

解题步骤 1

将 $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ 书写为一个函数。

$f (x) = \cos^{2} (\frac{x}{2})$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \cos^{2} (\frac{x}{2}) d x$

解题步骤 4

使 $u_{1} = \frac{x}{2}$ 。然后使 $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ ，以便 $2 d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{1} = \frac{x}{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\frac{x}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 4.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 4.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \cos^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\int \cos^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

解题步骤 5.3

将 $2$ 移到 $\cos^{2} (u_{1})$ 的左侧。

$\int 2 \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 7

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (u_{1})$ 的形式。

$2 \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.2.2

重写表达式。

$1 \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.3

将 $\int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 12

使 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 12.1

设 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 12.1.1

对 $2 u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

解题步骤 12.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 12.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 12.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 12.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 13

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

解题步骤 14

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 15

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

解题步骤 16

化简。

$u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

解题步骤 17

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 17.1

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

解题步骤 17.2

使用 $2 u_{1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1}) + C$

解题步骤 17.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2}) + C$

解题步骤 18

组合 $2$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (\frac{2 x}{2}) + C$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.1.1

约去公因数。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (\frac{2 x}{2}) + C$

解题步骤 19.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (x) + C$

解题步骤 19.2

重新排序项。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \sin (x) + C$

解题步骤 20

答案是函数 $f (x) = \cos^{2} (\frac{x}{2})$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \sin (x) + C$

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