微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - 3 x)}^{7} - 128}{4 x}$

解题步骤 1

因为项 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{{(2 - 3 x)}^{7} - 128}{x}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(2 - 3 x)}^{7} - 128}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(2 - 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用极限幂法则把 ${(2 - 3 x)}^{7}$ 的指数 $7$ 移到极限外。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 2 - 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.1.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.1.4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.1.5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - 3 lim_{x \to 0} x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.1.6

计算 $128$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - 3 lim_{x \to 0} x)}^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - 3 \cdot 0)}^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.3.1.1

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3.1.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3.1.3

对 $2$ 进行 $7$ 次方运算。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{128 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $128$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{128 - 128}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3.2

从 $128$ 中减去 $128$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - 3 x)}^{7} - 128}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7} - 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7} - 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， ${(2 - 3 x)}^{7} - 128$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 128]$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7}]$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{7}$ 且 $g (x) = 2 - 3 x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 - 3 x$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [2 - 3 x] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 u^{6} \frac{d}{d x} [2 - 3 x] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.1.3

使用 $2 - 3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} \frac{d}{d x} [2 - 3 x] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.2

根据加法法则， $2 - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 - 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.6

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 - 3) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.7

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} \cdot - 3 + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.8

将 $- 3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 128$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 128$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.5

将 $- 21 {(2 - 3 x)}^{6}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6}}{1}$

解题步骤 2.4

用 $- 21 {(2 - 3 x)}^{6}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} - 21 {(2 - 3 x)}^{6}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

因为项 $- 21$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{4} \cdot - 21 lim_{x \to 0} {(2 - 3 x)}^{6}$

解题步骤 3.2

使用极限幂法则把 ${(2 - 3 x)}^{6}$ 的指数 $6$ 移到极限外。

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(lim_{x \to 0} 2 - 3 x)}^{6}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{6}$

解题步骤 3.4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{6}$

解题步骤 3.5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(2 - 3 lim_{x \to 0} x)}^{6}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(2 - 3 \cdot 0)}^{6}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 21$ 。

$\frac{- 21}{4} {(2 - 3 \cdot 0)}^{6}$

解题步骤 5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{21}{4} {(2 - 3 \cdot 0)}^{6}$

解题步骤 5.3

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{21}{4} {(2 + 0)}^{6}$

解题步骤 5.4

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{21}{4} \cdot 2^{6}$

解题步骤 5.5

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$- \frac{21}{4} \cdot 64$

解题步骤 5.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.1

将 $- \frac{21}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 21}{4} \cdot 64$

解题步骤 5.6.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{- 21}{4} \cdot (4 (16))$

解题步骤 5.6.3

约去公因数。

$\frac{- 21}{4} \cdot (4 \cdot 16)$

解题步骤 5.6.4

重写表达式。

$- 21 \cdot 16$

解题步骤 5.7

将 $- 21$ 乘以 $16$ 。

$- 336$

微积分学 示例

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