微积分学示例

$(1 - x) y' = y^{2}$

解题步骤 1

重写微分方程。

$(1 - x) \frac{d y}{d x} = y^{2}$

解题步骤 2

分离变量。

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解题步骤 2.1

将 $(1 - x) \frac{d y}{d x} = y^{2}$ 中的每一项除以 $1 - x$ 并化简。

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解题步骤 2.1.1

将 $(1 - x) \frac{d y}{d x} = y^{2}$ 中的每一项都除以 $1 - x$ 。

$\frac{(1 - x) \frac{d y}{d x}}{1 - x} = \frac{y^{2}}{1 - x}$

解题步骤 2.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.1.2.1

约去 $1 - x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(1 - x) \frac{d y}{d x}}{1 - x} = \frac{y^{2}}{1 - x}$

解题步骤 2.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{1 - x}$

解题步骤 2.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{1 - x}$

解题步骤 2.3

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{1 - x}$

解题步骤 2.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x}$

解题步骤 2.4

重写该方程。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

解题步骤 3.2

对左边积分。

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解题步骤 3.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.2.1.1

通过将 $y^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

解题步骤 3.2.1.2

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

解题步骤 3.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

解题步骤 3.2.2

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

解题步骤 3.2.3

将 $- y^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{y} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

使 $u = 1 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.3.1.1

设 $u = 1 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 3.3.1.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 3.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 3.3.2

将分数分解成多个分数。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 3.3.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 3.3.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

解题步骤 3.3.5

化简。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 3.3.6

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$

解题步骤 4

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 4.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y, 1, 1$

解题步骤 4.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y$

解题步骤 4.2

将 $- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$ 中的每一项乘以 $y$ 以消去分数。

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解题步骤 4.2.1

将 $- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$ 中的每一项乘以 $y$ 。

$- \frac{1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 $- \frac{1}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

解题步骤 4.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

解题步骤 4.2.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- \ln (| 1 - x |) y + C y$ 中的因式重新排序。

$- 1 = - y \ln (| 1 - x |) + C y$

解题步骤 4.3

求解方程。

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解题步骤 4.3.1

将方程重写为 $- y \ln (| 1 - x |) + C y = - 1$ 。

$- y \ln (| 1 - x |) + C y = - 1$

解题步骤 4.3.2

从 $- y \ln (| 1 - x |) + C y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $- y \ln (| 1 - x |)$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + C y = - 1$

解题步骤 4.3.2.2

从 $C y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + y C = - 1$

解题步骤 4.3.2.3

从 $y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + y C$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 1 \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$

解题步骤 4.3.3

将 $- 1 \ln (| 1 - x |)$ 重写为 $- \ln (| 1 - x |)$ 。

$y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$

解题步骤 4.3.4

将 $y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$ 中的每一项除以 $- \ln (| 1 - x |) + C$ 并化简。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$ 中的每一项都除以 $- \ln (| 1 - x |) + C$ 。

$\frac{y (- \ln (| 1 - x |) + C)}{- \ln (| 1 - x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

解题步骤 4.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.4.2.1

约去 $- \ln (| 1 - x |) + C$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (- \ln (| 1 - x |) + C)}{- \ln (| 1 - x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

解题步骤 4.3.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

解题步骤 4.3.4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

解题步骤 4.3.4.3.2

从 $- \ln (| 1 - x |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |)) + C}$

解题步骤 4.3.4.3.3

从 $C$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |)) - 1 (- C)}$

解题步骤 4.3.4.3.4

从 $- (\ln (| 1 - x |)) - 1 (- C)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |) - C)}$

解题步骤 4.3.4.3.5

化简表达式。

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解题步骤 4.3.4.3.5.1

将 $- (\ln (| 1 - x |) - C)$ 重写为 $- 1 (\ln (| 1 - x |) - C)$ 。

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln (| 1 - x |) - C)}$

解题步骤 4.3.4.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$y = - - \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

解题步骤 4.3.4.3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = 1 \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

解题步骤 4.3.4.3.5.4

将 $\frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

解题步骤 5

化简积分常数。

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$

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