微积分学示例

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

解题步骤 1

将 $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

解题步骤 4

使 $u = e^{x} + 1$ 。然后使 $d u = e^{x} d x$ ，以便 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = e^{x} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $e^{x} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $e^{x} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x} + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$e^{x}$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C$

解题步骤 6

使用 $e^{x} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| e^{x} + 1 |) + C$

解题步骤 7

答案是函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\ln (| e^{x} + 1 |) + C$

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