微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{6} x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.3

组合 $6$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $\frac{6}{6}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.5

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.5.2

用 $x^{5}$ 除以 $1$ 。

$x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$x^{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$x^{5} + 5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{5} + 5 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

解题步骤 1.1.4.3

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$f' (x) = x^{5} + 5 x^{4} - 20 x^{3}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

求微分。

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解题步骤 1.2.1.1

根据加法法则， $x^{5} + 5 x^{4} - 20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$5 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 20 (3 x^{2})$

解题步骤 1.2.3.3

将 $3$ 乘以 $- 20$ 。

$f'' (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$ 。

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$ 中分解出因数 $5 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $5 x^{4}$ 中分解出因数 $5 x^{2}$ 。

$5 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $20 x^{3}$ 中分解出因数 $5 x^{2}$ 。

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x) - 60 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 60 x^{2}$ 中分解出因数 $5 x^{2}$ 。

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x) + 5 x^{2} (- 12) = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x)$ 中分解出因数 $5 x^{2}$ 。

$5 x^{2} (x^{2} + 4 x) + 5 x^{2} (- 12) = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $5 x^{2} (x^{2} + 4 x) + 5 x^{2} (- 12)$ 中分解出因数 $5 x^{2}$ 。

$5 x^{2} (x^{2} + 4 x - 12) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 4 x - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $4$ 。

$- 2, 6$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$5 x^{2} ((x - 2) (x + 6)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$5 x^{2} (x - 2) (x + 6) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.6

将 $x + 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x + 6$ 设为等于 $0$ 。

$x + 6 = 0$

解题步骤 2.6.2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$x = - 6$

解题步骤 2.7

最终解为使 $5 x^{2} (x - 2) (x + 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2, - 6$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{1}{6} \cdot 0 + {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 5 \cdot 0$

解题步骤 3.1.2.1.5

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 3.3

将 $2$ 代入 $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{1}{6} \cdot {(2)}^{6} + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$f (2) = \frac{1}{6} \cdot 64 + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = \frac{1}{2 (3)} \cdot 64 + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

从 $64$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2.3

约去公因数。

$f (2) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2.4

重写表达式。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot 32 + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $32$ 。

$f (2) = \frac{32}{3} + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (2) = \frac{32}{3} + 32 - 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.5

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (2) = \frac{32}{3} + 32 - 5 \cdot 16$

解题步骤 3.3.2.1.6

将 $- 5$ 乘以 $16$ 。

$f (2) = \frac{32}{3} + 32 - 80$

解题步骤 3.3.2.2

求公分母。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将 $32$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32}{1} - 80$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $\frac{32}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32}{1} \cdot \frac{3}{3} - 80$

解题步骤 3.3.2.2.3

将 $\frac{32}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} - 80$

解题步骤 3.3.2.2.4

将 $- 80$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 80}{1}$

解题步骤 3.3.2.2.5

将 $\frac{- 80}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 80}{1} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.3.2.2.6

将 $\frac{- 80}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 80 \cdot 3}{3}$

解题步骤 3.3.2.3

在公分母上合并分子。

$f (2) = \frac{32 + 32 \cdot 3 - 80 \cdot 3}{3}$

解题步骤 3.3.2.4

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.4.1

将 $32$ 乘以 $3$ 。

$f (2) = \frac{32 + 96 - 80 \cdot 3}{3}$

解题步骤 3.3.2.4.2

将 $- 80$ 乘以 $3$ 。

$f (2) = \frac{32 + 96 - 240}{3}$

解题步骤 3.3.2.5

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.5.1

将 $32$ 和 $96$ 相加。

$f (2) = \frac{128 - 240}{3}$

解题步骤 3.3.2.5.2

从 $128$ 中减去 $240$ 。

$f (2) = \frac{- 112}{3}$

解题步骤 3.3.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (2) = - \frac{112}{3}$

解题步骤 3.3.2.6

最终答案为 $- \frac{112}{3}$ 。

$- \frac{112}{3}$

解题步骤 3.4

通过将 $2$ 代入 $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ 中求得的点为 $(2, - \frac{112}{3})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(2, - \frac{112}{3})$

解题步骤 3.5

将 $- 6$ 代入 $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.5.1

使用表达式中的 $- 6$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot {(- 6)}^{6} + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

解题步骤 3.5.2

化简结果。

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解题步骤 3.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1.1

对 $- 6$ 进行 $6$ 次方运算。

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot 46656 + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.2

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.2.1

从 $46656$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot (6 (7776)) + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.2.2

约去公因数。

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 7776) + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.2.3

重写表达式。

$f (- 6) = 7776 + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.3

对 $- 6$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- 6) = 7776 - 7776 - 5 {(- 6)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.4

对 $- 6$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 6) = 7776 - 7776 - 5 \cdot 1296$

解题步骤 3.5.2.1.5

将 $- 5$ 乘以 $1296$ 。

$f (- 6) = 7776 - 7776 - 6480$

解题步骤 3.5.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 3.5.2.2.1

从 $7776$ 中减去 $7776$ 。

$f (- 6) = 0 - 6480$

解题步骤 3.5.2.2.2

从 $0$ 中减去 $6480$ 。

$f (- 6) = - 6480$

解题步骤 3.5.2.3

最终答案为 $- 6480$ 。

$- 6480$

解题步骤 3.6

通过将 $- 6$ 代入 $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ 中求得的点为 $(- 6, - 6480)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 6, - 6480)$

解题步骤 3.7

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (2, - \frac{112}{3}), (- 6, - 6480)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 6)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 6.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 6.1) = 5 {(- 6.1)}^{4} + 20 {(- 6.1)}^{3} - 60 {(- 6.1)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 6.1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 6.1) = 5 \cdot 1384.5841 + 20 {(- 6.1)}^{3} - 60 {(- 6.1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $5$ 乘以 $1384.5841$ 。

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 + 20 {(- 6.1)}^{3} - 60 {(- 6.1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 6.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 + 20 \cdot - 226.981 - 60 {(- 6.1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.4

将 $20$ 乘以 $- 226.981$ 。

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 - 4539.62 - 60 {(- 6.1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.5

对 $- 6.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 - 4539.62 - 60 \cdot 37.21$

解题步骤 5.2.1.6

将 $- 60$ 乘以 $37.21$ 。

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 - 4539.62 - 2232.6$

解题步骤 5.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $6922.9205$ 中减去 $4539.62$ 。

$f'' (- 6.1) = 2383.3005 - 2232.6$

解题步骤 5.2.2.2

从 $2383.3005$ 中减去 $2232.6$ 。

$f'' (- 6.1) = 150.7005$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $150.7005$ 。

$150.7005$

解题步骤 5.3

在 $- 6.1$ 处，二阶导数为 $150.7005$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - 6)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 6)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 6, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 3) = 5 {(- 3)}^{4} + 20 {(- 3)}^{3} - 60 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 3) = 5 \cdot 81 + 20 {(- 3)}^{3} - 60 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $5$ 乘以 $81$ 。

$f'' (- 3) = 405 + 20 {(- 3)}^{3} - 60 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 3) = 405 + 20 \cdot - 27 - 60 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.4

将 $20$ 乘以 $- 27$ 。

$f'' (- 3) = 405 - 540 - 60 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.5

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 3) = 405 - 540 - 60 \cdot 9$

解题步骤 6.2.1.6

将 $- 60$ 乘以 $9$ 。

$f'' (- 3) = 405 - 540 - 540$

解题步骤 6.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $405$ 中减去 $540$ 。

$f'' (- 3) = - 135 - 540$

解题步骤 6.2.2.2

从 $- 135$ 中减去 $540$ 。

$f'' (- 3) = - 675$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 675$ 。

$- 675$

解题步骤 6.3

在 $- 3$ ，二阶导数为 $- 675$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 6, 0)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 6, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, 2)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1) = 5 {(1)}^{4} + 20 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f'' (1) = 5 \cdot 1 + 20 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f'' (1) = 5 + 20 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f'' (1) = 5 + 20 \cdot 1 - 60 {(1)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.4

将 $20$ 乘以 $1$ 。

$f'' (1) = 5 + 20 - 60 {(1)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.5

一的任意次幂都为一。

$f'' (1) = 5 + 20 - 60 \cdot 1$

解题步骤 7.2.1.6

将 $- 60$ 乘以 $1$ 。

$f'' (1) = 5 + 20 - 60$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $5$ 和 $20$ 相加。

$f'' (1) = 25 - 60$

解题步骤 7.2.2.2

从 $25$ 中减去 $60$ 。

$f'' (1) = - 35$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 35$ 。

$- 35$

解题步骤 7.3

在 $1$ ，二阶导数为 $- 35$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, 2)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 2)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(2, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $2.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.1) = 5 {(2.1)}^{4} + 20 {(2.1)}^{3} - 60 {(2.1)}^{2}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $2.1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 20 {(2.1)}^{3} - 60 {(2.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $5$ 乘以 $19.4481$ 。

$f'' (2.1) = 97.2405 + 20 {(2.1)}^{3} - 60 {(2.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.3

对 $2.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (2.1) = 97.2405 + 20 \cdot 9.261 - 60 {(2.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.4

将 $20$ 乘以 $9.261$ 。

$f'' (2.1) = 97.2405 + 185.22 - 60 {(2.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.5

对 $2.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2.1) = 97.2405 + 185.22 - 60 \cdot 4.41$

解题步骤 8.2.1.6

将 $- 60$ 乘以 $4.41$ 。

$f'' (2.1) = 97.2405 + 185.22 - 264.6$

解题步骤 8.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $97.2405$ 和 $185.22$ 相加。

$f'' (2.1) = 282.4605 - 264.6$

解题步骤 8.2.2.2

从 $282.4605$ 中减去 $264.6$ 。

$f'' (2.1) = 17.8605$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $17.8605$ 。

$17.8605$

解题步骤 8.3

在 $2.1$ 处，二阶导数为 $17.8605$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(2, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(2, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- 6, - 6480), (2, - \frac{112}{3})$ 。

$(- 6, - 6480), (2, - \frac{112}{3})$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例