微积分学示例

$x + \sqrt{x + 1}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x + \sqrt{x + 1}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)$

解题步骤 1.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)$

解题步骤 1.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)$

解题步骤 1.2.8

在公分母上合并分子。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)$

解题步骤 1.2.9

化简分子。

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解题步骤 1.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)$

解题步骤 1.2.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)$

解题步骤 1.2.10

将负号移到分数的前面。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)$

解题步骤 1.2.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 1.2.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$1 + \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1$

解题步骤 1.2.13

将 $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$1 + \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.2.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$0 + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.2.3.3

使用 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + 1$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

解题步骤 2.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

解题步骤 2.2.4.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

解题步骤 2.2.5

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])))$

解题步骤 2.2.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

解题步骤 2.2.8

将 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

解题步骤 2.2.8.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.8.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

解题步骤 2.2.8.2.2

约去公因数。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

解题步骤 2.2.8.2.3

重写表达式。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

解题步骤 2.2.9

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)))$

解题步骤 2.2.10

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

解题步骤 2.2.11

在公分母上合并分子。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

解题步骤 2.2.12

化简分子。

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解题步骤 2.2.12.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)))$

解题步骤 2.2.12.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)))$

解题步骤 2.2.13

将负号移到分数的前面。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)))$

解题步骤 2.2.14

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1))$

解题步骤 2.2.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1))$

解题步骤 2.2.16

将 $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.2.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.18

组合 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 ${(x + 1)}^{- 1}$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{{(x + 1)}^{- 1}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.19

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 1)}^{- 1}$ 移动到分母。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)})$

解题步骤 2.2.20

通过指数相加将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.2.20.1

移动 $x + 1$ 。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ((x + 1) {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

解题步骤 2.2.20.2

将 $x + 1$ 乘以 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.20.2.1

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

解题步骤 2.2.20.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.20.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.20.4

在公分母上合并分子。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}})$

解题步骤 2.2.20.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 2.2.21

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$0 - \frac{1}{2 (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 2.2.22

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$0 - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.3

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.1.1

因为 $- \frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ 。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 重写为 ${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 3.1.2.2

将 ${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 3.1.2.2.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.1.2.2.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

解题步骤 3.1.2.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

解题步骤 3.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{3}{2}$ 。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.2.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.6.2

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.7

合并分数。

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解题步骤 3.7.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.7.2

组合 ${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$- \frac{1}{4} (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.7.3

化简表达式。

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解题步骤 3.7.3.1

将 $3$ 移到 ${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ 的左侧。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 \cdot {(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.7.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.7.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{4}) (\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.7.3.4

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.7.4

将 $\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 4} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 3.7.5

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 3.8

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (1 + 0)$

解题步骤 3.11

化简表达式。

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解题步骤 3.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 3.11.2

将 $\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

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