微积分学示例

$lim_{x \to \sqrt{2}} (2 x^{2} + 1) (7 x^{2} + 13)$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\sqrt{2}$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to \sqrt{2}} 2 x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $\sqrt{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$(lim_{x \to \sqrt{2}} 2 x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

解题步骤 3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$(2 lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

解题步骤 5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\sqrt{2}$ 时此极限值为常数。

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $\sqrt{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 13)$

解题步骤 7

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (7 lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 13)$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (7 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 13)$

解题步骤 9

计算 $13$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\sqrt{2}$ 时此极限值为常数。

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (7 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 13)$

解题步骤 10

将 $\sqrt{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $\sqrt{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(2 {\sqrt{2}}^{2} + 1) \cdot (7 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 13)$

解题步骤 10.2

将 $\sqrt{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(2 {\sqrt{2}}^{2} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 11.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$(2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

解题步骤 11.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

解题步骤 11.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$(2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

解题步骤 11.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.1.4.1

约去公因数。

$(2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

解题步骤 11.1.1.4.2

重写表达式。

$(2 \cdot 2^{1} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

解题步骤 11.1.1.5

计算指数。

$(2 \cdot 2 + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

解题步骤 11.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(4 + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

解题步骤 11.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$5 \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

解题步骤 11.3

化简每一项。

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解题步骤 11.3.1

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 11.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 \cdot (7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 13)$

解题步骤 11.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 \cdot (7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 13)$

解题步骤 11.3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$5 \cdot (7 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 13)$

解题步骤 11.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.1.4.1

约去公因数。

$5 \cdot (7 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 13)$

解题步骤 11.3.1.4.2

重写表达式。

$5 \cdot (7 \cdot 2^{1} + 13)$

解题步骤 11.3.1.5

计算指数。

$5 \cdot (7 \cdot 2 + 13)$

解题步骤 11.3.2

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$5 \cdot (14 + 13)$

解题步骤 11.4

将 $14$ 和 $13$ 相加。

$5 \cdot 27$

解题步骤 11.5

将 $5$ 乘以 $27$ 。

$135$

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