微积分学示例

$x^{2} e^{- x}$

解题步骤 1

将 $x^{2} e^{- x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{2} e^{- x} d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

解题步骤 5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

解题步骤 6

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

解题步骤 7

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

解题步骤 8

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

解题步骤 10.2

将 $\int e^{- x} d x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

解题步骤 11

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 11.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 11.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 11.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

解题步骤 12

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

解题步骤 13

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

解题步骤 14

将 $x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ 重写为 $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$ 。

$- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$

解题步骤 15

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

解题步骤 16

答案是函数 $f (x) = x^{2} e^{- x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

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