微积分学示例

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} + 5 x^{4}$

解题步骤 1

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $- \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} + 5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

因为 $- \frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{6} x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$- \frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 (\frac{1}{6}) x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{- 6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.5

组合 $\frac{- 6}{6}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{- 6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.6

约去 $- 6$ 和 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.6.1

从 $- 6 x^{5}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (- x^{5})}{6} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.6.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (- x^{5})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.6.2.4

用 $- x^{5}$ 除以 $1$ 。

$- x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- x^{5} - \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- x^{5} - (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{5} - 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- x^{5} - 5 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- x^{5} - 5 x^{4} + 5 (4 x^{3})$

解题步骤 1.1.4.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$f' (x) = - x^{5} - 5 x^{4} + 20 x^{3}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $- x^{5} - 5 x^{4} + 20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- 5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 5 x^{4} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.3.3

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

解题步骤 1.2.4.3

将 $3$ 乘以 $20$ 。

$f'' (x) = - 5 x^{4} - 20 x^{3} + 60 x^{2}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 5 x^{4} - 20 x^{3} + 60 x^{2}$ 。

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + 60 x^{2}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 5 x^{4} - 20 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

从 $- 5 x^{4} - 20 x^{3} + 60 x^{2}$ 中分解出因数 $- 5 x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

从 $- 5 x^{4}$ 中分解出因数 $- 5 x^{2}$ 。

$- 5 x^{2} x^{2} - 20 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 20 x^{3}$ 中分解出因数 $- 5 x^{2}$ 。

$- 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} (4 x) + 60 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $60 x^{2}$ 中分解出因数 $- 5 x^{2}$ 。

$- 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} (4 x) - 5 x^{2} \cdot - 12 = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $- 5 x^{2} (x^{2}) - 5 x^{2} (4 x)$ 中分解出因数 $- 5 x^{2}$ 。

$- 5 x^{2} (x^{2} + 4 x) - 5 x^{2} \cdot - 12 = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $- 5 x^{2} (x^{2} + 4 x) - 5 x^{2} (- 12)$ 中分解出因数 $- 5 x^{2}$ 。

$- 5 x^{2} (x^{2} + 4 x - 12) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 4 x - 12$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $4$ 。

$- 2, 6$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- 5 x^{2} ((x - 2) (x + 6)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$- 5 x^{2} (x - 2) (x + 6) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.6

将 $x + 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

将 $x + 6$ 设为等于 $0$ 。

$x + 6 = 0$

解题步骤 2.6.2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$x = - 6$

解题步骤 2.7

最终解为使 $- 5 x^{2} (x - 2) (x + 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2, - 6$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} + 5 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} - {(0)}^{5} + 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot 0 - {(0)}^{5} + 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2.1.2

乘以 $- \frac{1}{6} \cdot 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$f (0) = 0 (\frac{1}{6}) - {(0)}^{5} + 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2.1.2.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$f (0) = 0 - {(0)}^{5} + 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 0 + 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 5 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 5 \cdot 0$

解题步骤 3.1.2.1.6

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2

通过加上各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} + 5 x^{4}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 3.3

将 $2$ 代入 $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} + 5 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = - \frac{1}{6} \cdot {(2)}^{6} - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.1

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$f (2) = - \frac{1}{6} \cdot 64 - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.2.1

将 $- \frac{1}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$f (2) = \frac{- 1}{6} \cdot 64 - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = \frac{- 1}{2 (3)} \cdot 64 - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2.3

从 $64$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2.4

约去公因数。

$f (2) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2.5

重写表达式。

$f (2) = \frac{- 1}{3} \cdot 32 - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3

组合 $\frac{- 1}{3}$ 和 $32$ 。

$f (2) = \frac{- 1 \cdot 32}{3} - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $32$ 。

$f (2) = \frac{- 32}{3} - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.5

将负号移到分数的前面。

$f (2) = - \frac{32}{3} - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.6

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (2) = - \frac{32}{3} - 1 \cdot 32 + 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $32$ 。

$f (2) = - \frac{32}{3} - 32 + 5 {(2)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.8

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (2) = - \frac{32}{3} - 32 + 5 \cdot 16$

解题步骤 3.3.2.1.9

将 $5$ 乘以 $16$ 。

$f (2) = - \frac{32}{3} - 32 + 80$

解题步骤 3.3.2.2

求公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.2.1

将 $- 32$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (2) = - \frac{32}{3} + \frac{- 32}{1} + 80$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $\frac{- 32}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (2) = - \frac{32}{3} + \frac{- 32}{1} \cdot \frac{3}{3} + 80$

解题步骤 3.3.2.2.3

将 $\frac{- 32}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (2) = - \frac{32}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3} + 80$

解题步骤 3.3.2.2.4

将 $80$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (2) = - \frac{32}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3} + \frac{80}{1}$

解题步骤 3.3.2.2.5

将 $\frac{80}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (2) = - \frac{32}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3} + \frac{80}{1} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.3.2.2.6

将 $\frac{80}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (2) = - \frac{32}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3} + \frac{80 \cdot 3}{3}$

解题步骤 3.3.2.3

在公分母上合并分子。

$f (2) = \frac{- 32 - 32 \cdot 3 + 80 \cdot 3}{3}$

解题步骤 3.3.2.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.4.1

将 $- 32$ 乘以 $3$ 。

$f (2) = \frac{- 32 - 96 + 80 \cdot 3}{3}$

解题步骤 3.3.2.4.2

将 $80$ 乘以 $3$ 。

$f (2) = \frac{- 32 - 96 + 240}{3}$

解题步骤 3.3.2.5

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.5.1

从 $- 32$ 中减去 $96$ 。

$f (2) = \frac{- 128 + 240}{3}$

解题步骤 3.3.2.5.2

将 $- 128$ 和 $240$ 相加。

$f (2) = \frac{112}{3}$

解题步骤 3.3.2.6

最终答案为 $\frac{112}{3}$ 。

$\frac{112}{3}$

解题步骤 3.4

通过将 $2$ 代入 $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} + 5 x^{4}$ 中求得的点为 $(2, \frac{112}{3})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(2, \frac{112}{3})$

解题步骤 3.5

将 $- 6$ 代入 $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} + 5 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

使用表达式中的 $- 6$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 6) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 6)}^{6} - {(- 6)}^{5} + 5 {(- 6)}^{4}$

解题步骤 3.5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.2.1.1

对 $- 6$ 进行 $6$ 次方运算。

$f (- 6) = - \frac{1}{6} \cdot 46656 - {(- 6)}^{5} + 5 {(- 6)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.2

约去 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.2.1.2.1

将 $- \frac{1}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- 6) = \frac{- 1}{6} \cdot 46656 - {(- 6)}^{5} + 5 {(- 6)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.2.2

从 $46656$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (- 6) = \frac{- 1}{6} \cdot (6 (7776)) - {(- 6)}^{5} + 5 {(- 6)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.2.3

约去公因数。

$f (- 6) = \frac{- 1}{6} \cdot (6 \cdot 7776) - {(- 6)}^{5} + 5 {(- 6)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.2.4

重写表达式。

$f (- 6) = - 1 \cdot 7776 - {(- 6)}^{5} + 5 {(- 6)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $7776$ 。

$f (- 6) = - 7776 - {(- 6)}^{5} + 5 {(- 6)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.4

对 $- 6$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- 6) = - 7776 + 7776 + 5 {(- 6)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 7776$ 。

$f (- 6) = - 7776 + 7776 + 5 {(- 6)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.6

对 $- 6$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 6) = - 7776 + 7776 + 5 \cdot 1296$

解题步骤 3.5.2.1.7

将 $5$ 乘以 $1296$ 。

$f (- 6) = - 7776 + 7776 + 6480$

解题步骤 3.5.2.2

通过加上各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.2.2.1

将 $- 7776$ 和 $7776$ 相加。

$f (- 6) = 0 + 6480$

解题步骤 3.5.2.2.2

将 $0$ 和 $6480$ 相加。

$f (- 6) = 6480$

解题步骤 3.5.2.3

最终答案为 $6480$ 。

$6480$

解题步骤 3.6

通过将 $- 6$ 代入 $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} + 5 x^{4}$ 中求得的点为 $(- 6, 6480)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 6, 6480)$

解题步骤 3.7

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (2, \frac{112}{3}), (- 6, 6480)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 6)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 6.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 6.1) = - 5 {(- 6.1)}^{4} - 20 {(- 6.1)}^{3} + 60 {(- 6.1)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

对 $- 6.1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 6.1) = - 5 \cdot 1384.5841 - 20 {(- 6.1)}^{3} + 60 {(- 6.1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $1384.5841$ 。

$f'' (- 6.1) = - 6922.9205 - 20 {(- 6.1)}^{3} + 60 {(- 6.1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 6.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 6.1) = - 6922.9205 - 20 \cdot - 226.981 + 60 {(- 6.1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- 20$ 乘以 $- 226.981$ 。

$f'' (- 6.1) = - 6922.9205 + 4539.62 + 60 {(- 6.1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.5

对 $- 6.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 6.1) = - 6922.9205 + 4539.62 + 60 \cdot 37.21$

解题步骤 5.2.1.6

将 $60$ 乘以 $37.21$ 。

$f'' (- 6.1) = - 6922.9205 + 4539.62 + 2232.6$

解题步骤 5.2.2

通过加上各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

将 $- 6922.9205$ 和 $4539.62$ 相加。

$f'' (- 6.1) = - 2383.3005 + 2232.6$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 2383.3005$ 和 $2232.6$ 相加。

$f'' (- 6.1) = - 150.7005$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 150.7005$ 。

$- 150.7005$

解题步骤 5.3

在 $- 6.1$ ，二阶导数为 $- 150.7005$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - 6)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 6)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- 6, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 3) = - 5 {(- 3)}^{4} - 20 {(- 3)}^{3} + 60 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 3) = - 5 \cdot 81 - 20 {(- 3)}^{3} + 60 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $81$ 。

$f'' (- 3) = - 405 - 20 {(- 3)}^{3} + 60 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 3) = - 405 - 20 \cdot - 27 + 60 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 20$ 乘以 $- 27$ 。

$f'' (- 3) = - 405 + 540 + 60 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.5

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 3) = - 405 + 540 + 60 \cdot 9$

解题步骤 6.2.1.6

将 $60$ 乘以 $9$ 。

$f'' (- 3) = - 405 + 540 + 540$

解题步骤 6.2.2

通过加上各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

将 $- 405$ 和 $540$ 相加。

$f'' (- 3) = 135 + 540$

解题步骤 6.2.2.2

将 $135$ 和 $540$ 相加。

$f'' (- 3) = 675$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $675$ 。

$675$

解题步骤 6.3

在 $- 3$ 处，二阶导数为 $675$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- 6, 0)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 6, 0)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(0, 2)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1) = - 5 {(1)}^{4} - 20 {(1)}^{3} + 60 {(1)}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f'' (1) = - 5 \cdot 1 - 20 {(1)}^{3} + 60 {(1)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$f'' (1) = - 5 - 20 {(1)}^{3} + 60 {(1)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f'' (1) = - 5 - 20 \cdot 1 + 60 {(1)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.4

将 $- 20$ 乘以 $1$ 。

$f'' (1) = - 5 - 20 + 60 {(1)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.5

一的任意次幂都为一。

$f'' (1) = - 5 - 20 + 60 \cdot 1$

解题步骤 7.2.1.6

将 $60$ 乘以 $1$ 。

$f'' (1) = - 5 - 20 + 60$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1

从 $- 5$ 中减去 $20$ 。

$f'' (1) = - 25 + 60$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 25$ 和 $60$ 相加。

$f'' (1) = 35$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $35$ 。

$35$

解题步骤 7.3

在 $1$ 处，二阶导数为 $35$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0, 2)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, 2)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(2, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

使用表达式中的 $2.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.1) = - 5 {(2.1)}^{4} - 20 {(2.1)}^{3} + 60 {(2.1)}^{2}$

解题步骤 8.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1.1

对 $2.1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (2.1) = - 5 \cdot 19.4481 - 20 {(2.1)}^{3} + 60 {(2.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $19.4481$ 。

$f'' (2.1) = - 97.2405 - 20 {(2.1)}^{3} + 60 {(2.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.3

对 $2.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (2.1) = - 97.2405 - 20 \cdot 9.261 + 60 {(2.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.4

将 $- 20$ 乘以 $9.261$ 。

$f'' (2.1) = - 97.2405 - 185.22 + 60 {(2.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.5

对 $2.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2.1) = - 97.2405 - 185.22 + 60 \cdot 4.41$

解题步骤 8.2.1.6

将 $60$ 乘以 $4.41$ 。

$f'' (2.1) = - 97.2405 - 185.22 + 264.6$

解题步骤 8.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.1

从 $- 97.2405$ 中减去 $185.22$ 。

$f'' (2.1) = - 282.4605 + 264.6$

解题步骤 8.2.2.2

将 $- 282.4605$ 和 $264.6$ 相加。

$f'' (2.1) = - 17.8605$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $- 17.8605$ 。

$- 17.8605$

解题步骤 8.3

在 $2.1$ ，二阶导数为 $- 17.8605$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(2, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(2, \infty)$ 上递减

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- 6, 6480), (2, \frac{112}{3})$ 。

$(- 6, 6480), (2, \frac{112}{3})$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例