微积分学示例

$\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 t + 2}{\sqrt{t + 1}} d t$

解题步骤 1

从 $2 t + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

从 $2 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t) + 2}{\sqrt{t + 1}} d t]$

解题步骤 1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t) + 2 (1)}{\sqrt{t + 1}} d t]$

解题步骤 1.3

从 $2 (t) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}} d t]$

解题步骤 2

将 $\frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}} \cdot \frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}} d t]$

解题步骤 3

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

将 $\frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1} \sqrt{t + 1}} d t]$

解题步骤 3.1.2

对 $\sqrt{t + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1} \sqrt{t + 1}} d t]$

解题步骤 3.1.3

对 $\sqrt{t + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1} {\sqrt{t + 1}}^{1}} d t]$

解题步骤 3.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1 + 1}} d t]$

解题步骤 3.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{2}} d t]$

解题步骤 3.1.6

将 ${\sqrt{t + 1}}^{2}$ 重写为 $t + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t + 1}$ 重写成 ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{({(t + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t]$

解题步骤 3.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t]$

解题步骤 3.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{2}{2}}} d t]$

解题步骤 3.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.6.4.1

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{2}{2}}} d t]$

解题步骤 3.1.6.4.2

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{1}} d t]$

解题步骤 3.1.6.5

化简。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{t + 1} d t]$

解题步骤 3.2

约去 $t + 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{t + 1} d t]$

解题步骤 3.2.2

用 $2 \sqrt{t + 1}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} 2 \sqrt{t + 1} d t]$

解题步骤 4

使用微积分基本定理和链式法则，取 $\int_{1}^{x^{2} + 1} 2 \sqrt{t + 1} d t$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1] (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

解题步骤 5

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(2 x + \frac{d}{d x} [1]) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

解题步骤 5.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(2 x + 0) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

解题步骤 5.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

解题步骤 5.4.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 x (2 \sqrt{x^{2} + 2})$

解题步骤 5.4.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x \sqrt{x^{2} + 2}$

微积分学 示例

微积分学示例