微积分学示例

$f (x) = x^{3} + a x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} + a x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [a x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [a x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a x$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} + a \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} + a \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.3

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + a$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} + a$ 。

$3 x^{2} + a$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} + a = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} + a = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $a$ 。

$3 x^{2} = - a$

解题步骤 2.3

将 $3 x^{2} = - a$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $3 x^{2} = - a$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- a}{3}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{a}{3}$

解题步骤 2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- \frac{a}{3}}$

解题步骤 2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

解题步骤 2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

解题步骤 2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{3} + a x$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ 替换 $x$ 。

${(\sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将 ${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ 。

$\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $- \frac{a}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.1.2.1.4

对 $\frac{a}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.1.2.1.5

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.1.2.1.6

将 $- \frac{a^{3}}{27}$ 重写为 ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.6.1

从 $a^{3}$ 中因式分解出完全幂数 $a^{2}$ 。

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.1.2.1.6.2

从 $27$ 中因式分解出完全幂数 $3^{2}$ 。

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.1.2.1.6.3

重新整理分数 $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ 。

$\sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.1.2.1.6.4

将 $- 1$ 和 ${(\frac{a}{3})}^{2}$ 重新排序。

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.1.2.1.6.5

添加圆括号。

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.1.2.1.7

从根式下提出各项。

$\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.1.2.1.8

组合 $\frac{a}{3}$ 和 $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ 。

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.1.2.2

要将 $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 4.1.2.3

化简项。

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解题步骤 4.1.2.3.1

组合 $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + \frac{a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.1.2.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.1.2.4

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $3$ 移到 $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ 的左侧。

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + 3 \cdot (a (\sqrt{- \frac{a}{3}}))}{3}$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ 和 $3 a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ 相加。

$\frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

解题步骤 4.2

在 $x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ 替换 $x$ 。

${(- \sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{3} {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.2.2.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.2.2.3

将 ${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ 。

$- \sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.2.2.4

对 $- \frac{a}{3}$ 运用乘积法则。

$- \sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.2.2.5

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.2.2.6

对 $\frac{a}{3}$ 运用乘积法则。

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.2.2.7

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.2.2.8

将 $- \frac{a^{3}}{27}$ 重写为 ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ 。

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解题步骤 4.2.2.8.1

从 $a^{3}$ 中因式分解出完全幂数 $a^{2}$ 。

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.2.2.8.2

从 $27$ 中因式分解出完全幂数 $3^{2}$ 。

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.2.2.8.3

重新整理分数 $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ 。

$- \sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.2.2.8.4

将 $- 1$ 和 ${(\frac{a}{3})}^{2}$ 重新排序。

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.2.2.8.5

添加圆括号。

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.2.2.9

从根式下提出各项。

$- (\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}) + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.2.2.10

组合 $\frac{a}{3}$ 和 $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ 。

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 4.2.2.11

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}}$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(\sqrt{- \frac{a}{3}}, \frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}), (- \sqrt{- \frac{a}{3}}, - \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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