微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{3^{x}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{3^{x}} d x$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将 $3^{x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\int 1 {(3^{x})}^{- 1} d x$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 ${(3^{x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int 1 \cdot 3^{x \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\int 1 \cdot 3^{- 1 \cdot x} d x$

解题步骤 3.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\int 1 \cdot 3^{- x} d x$

解题步骤 3.2.2

将 $3^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$\int 3^{- x} d x$

解题步骤 4

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 4.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - 3^{u} d u$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int 3^{u} d u$

解题步骤 6

$3^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ 。

$- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

解题步骤 7

将 $- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ 。

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

解题步骤 8

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$

微积分学 示例

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