微积分学示例

$\int_{0}^{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{3} + 1$ 。然后使 $d u = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{3} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{3} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x^{3} + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0^{3} + 1$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x^{3} + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2^{3} + 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$u_{upper} = 8 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 9$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2

组合 $u^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int_{1}^{9} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $9$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $27$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.6

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.7

约去 $54$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.7.1

从 $54$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.7.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.8

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

解题步骤 5.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3})$

解题步骤 5.2.10

要将 $18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

解题步骤 5.2.11

组合 $18$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

解题步骤 5.2.12

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

解题步骤 5.2.13

化简分子。

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解题步骤 5.2.13.1

将 $18$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

解题步骤 5.2.13.2

从 $54$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3}$

解题步骤 5.2.14

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{52}{3}$ 。

$\frac{52}{3 \cdot 3}$

解题步骤 5.2.15

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{52}{9}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{52}{9}$

小数形式：

$5.\overline{7}$

带分数形式：

$5 \frac{7}{9}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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