微积分学示例

$\frac{d}{d x} ((x^{2} + 4) (2 x^{3} + 7 x))$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 4$ 且 $g (x) = 2 x^{3} + 7 x$ 。

$(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7 x] + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x^{3} + 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ 。

$(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$(x^{2} + 4) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(x^{2} + 4) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 2.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 2.5

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7 \cdot 1) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 2.7

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 2.10

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (2 x + 0)$

解题步骤 2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.11.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (2 x)$

解题步骤 2.11.2

将 $2$ 移到 $2 x^{3} + 7 x$ 的左侧。

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + 2 \cdot (2 x^{3} + 7 x) x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 (2 x^{3}) + 2 (7 x)) x$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$(x^{2} + 4) (6 x^{2}) + (x^{2} + 4) \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$x^{2} (6 x^{2}) + 4 (6 x^{2}) + (x^{2} + 4) \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

解题步骤 3.5

运用分配律。

$x^{2} (6 x^{2}) + 4 (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

解题步骤 3.6

合并项。

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解题步骤 3.6.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{2} x^{2} \cdot 6 + 4 (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

解题步骤 3.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 2} \cdot 6 + 4 (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

解题步骤 3.6.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} \cdot 6 + 4 (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

解题步骤 3.6.2

将 $6$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$6 \cdot x^{4} + 4 (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

解题步骤 3.6.3

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$6 x^{4} + 24 x^{2} + x^{2} \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

解题步骤 3.6.4

将 $7$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 7 \cdot x^{2} + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

解题步骤 3.6.5

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 7 x^{2} + 28 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

解题步骤 3.6.6

将 $24 x^{2}$ 和 $7 x^{2}$ 相加。

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

解题步骤 3.6.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{3} x + 2 (7 x) x$

解题步骤 3.6.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 (x^{1} x^{3}) + 2 (7 x) x$

解题步骤 3.6.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{1 + 3} + 2 (7 x) x$

解题步骤 3.6.10

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{4} + 2 (7 x) x$

解题步骤 3.6.11

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{4} + 14 x \cdot x$

解题步骤 3.6.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{4} + 14 (x^{1} x)$

解题步骤 3.6.13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{4} + 14 (x^{1} x^{1})$

解题步骤 3.6.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{4} + 14 x^{1 + 1}$

解题步骤 3.6.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{4} + 14 x^{2}$

解题步骤 3.6.16

将 $6 x^{4}$ 和 $4 x^{4}$ 相加。

$10 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 14 x^{2}$

解题步骤 3.6.17

将 $31 x^{2}$ 和 $14 x^{2}$ 相加。

$10 x^{4} + 45 x^{2} + 28$

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