微积分学示例

$y = 3 x^{- 2} + 4 x^{- 1} + x$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 x^{- 2} + 4 x^{- 1} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{- 2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$- 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{- 1}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{- 1}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ 。

$- 6 x^{- 3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 6 x^{- 3} + 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 6 x^{- 3} - 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 6 x^{- 3} - 4 x^{- 2} + 1$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

重新排序项。

$- 4 x^{- 2} - 6 x^{- 3} + 1$

解题步骤 1.5.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 4 \frac{1}{x^{2}} - 6 x^{- 3} + 1$

解题步骤 1.5.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{- 4}{x^{2}} - 6 x^{- 3} + 1$

解题步骤 1.5.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{x^{2}} - 6 x^{- 3} + 1$

解题步骤 1.5.2.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{4}{x^{2}} - 6 \frac{1}{x^{3}} + 1$

解题步骤 1.5.2.5

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$- \frac{4}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{3}} + 1$

解题步骤 1.5.2.6

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{4}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} + 1$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $- \frac{4}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{4}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2}$ 。

$- 4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.10

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{6}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$8 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$8 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{3}$ 。

$8 x^{- 3} - 6 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$8 x^{- 3} - 6 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$8 x^{- 3} - 6 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$8 x^{- 3} - 6 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.5

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 x^{- 3} - 6 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$8 x^{- 3} - 6 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.7

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.8

将 $- 3$ 乘以 $- 6$ 。

$8 x^{- 3} + 18 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 x^{- 3} + 18 x^{- 4} + 0$

解题步骤 2.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$8 \frac{1}{x^{3}} + 18 x^{- 4} + 0$

解题步骤 2.5.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$8 \frac{1}{x^{3}} + 18 \frac{1}{x^{4}} + 0$

解题步骤 2.5.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.3.1

组合 $8$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{8}{x^{3}} + 18 \frac{1}{x^{4}} + 0$

解题步骤 2.5.3.2

组合 $18$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}} + 0$

解题步骤 2.5.3.3

将 $\frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $\frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{8}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{3}$ 。

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

解题步骤 3.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$8 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

解题步骤 3.2.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$8 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$8 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

解题步骤 3.2.5

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

解题步骤 3.2.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$8 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

解题步骤 3.2.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$8 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

解题步骤 3.2.7

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$8 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

解题步骤 3.2.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

解题步骤 3.2.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$8 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

解题步骤 3.2.8

将 $- 3$ 乘以 $8$ 。

$- 24 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{18}{x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 。

$- 24 x^{- 4} + 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 重写为 ${(x^{4})}^{- 1}$ 。

$- 24 x^{- 4} + 18 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{4}$ 。

$- 24 x^{- 4} + 18 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 24 x^{- 4} + 18 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 24 x^{- 4} + 18 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 24 x^{- 4} + 18 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

解题步骤 3.3.5

将 ${(x^{4})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 24 x^{- 4} + 18 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

解题步骤 3.3.5.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$- 24 x^{- 4} + 18 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

解题步骤 3.3.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

解题步骤 3.3.7

通过指数相加将 $x^{- 8}$ 乘以 $x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.7.1

移动 $x^{3}$ 。

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

解题步骤 3.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 x^{3 - 8})$

解题步骤 3.3.7.3

从 $3$ 中减去 $8$ 。

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 x^{- 5})$

解题步骤 3.3.8

将 $- 4$ 乘以 $18$ 。

$- 24 x^{- 4} - 72 x^{- 5}$

解题步骤 3.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 24 \frac{1}{x^{4}} - 72 x^{- 5}$

解题步骤 3.4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 24 \frac{1}{x^{4}} - 72 \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 3.4.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.1

组合 $- 24$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{- 24}{x^{4}} - 72 \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 3.4.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{24}{x^{4}} - 72 \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 3.4.3.3

组合 $- 72$ 和 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$- \frac{24}{x^{4}} + \frac{- 72}{x^{5}}$

解题步骤 3.4.3.4

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{24}{x^{4}} - \frac{72}{x^{5}}$

微积分学 示例

微积分学示例