微积分学示例

$\int {(x^{3} + 3)}^{3} x^{5} d x$

解题步骤 1

展开 ${(x^{3} + 3)}^{3} x^{5}$ 。

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解题步骤 1.1

使用二项式定理。

$\int ({(x^{3})}^{3} + 3 {(x^{3})}^{2} \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot 3^{2} + 3^{3}) x^{5} d x$

解题步骤 1.2

将幂重写为乘积形式。

$\int (x^{3} {(x^{3})}^{2} + 3 {(x^{3})}^{2} \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot 3^{2} + 3^{3}) x^{5} d x$

解题步骤 1.3

将幂重写为乘积形式。

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 {(x^{3})}^{2} \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot 3^{2} + 3^{3}) x^{5} d x$

解题步骤 1.4

将幂重写为乘积形式。

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot 3^{2} + 3^{3}) x^{5} d x$

解题步骤 1.5

将幂重写为乘积形式。

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) + 3^{3}) x^{5} d x$

解题步骤 1.6

将幂重写为乘积形式。

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) + 3 \cdot 3^{2}) x^{5} d x$

解题步骤 1.7

将幂重写为乘积形式。

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) + 3 \cdot (3 \cdot 3)) x^{5} d x$

解题步骤 1.8

运用分配律。

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3)) x^{5} + 3 \cdot (3 \cdot 3) x^{5} d x$

解题步骤 1.9

运用分配律。

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3) x^{5} + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) x^{5} + 3 \cdot (3 \cdot 3) x^{5} d x$

解题步骤 1.10

运用分配律。

$\int x^{3} (x^{3} x^{3}) x^{5} + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3 x^{5} + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) x^{5} + 3 \cdot (3 \cdot 3) x^{5} d x$

解题步骤 1.11

移动 $x^{3}$ 。

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{5} + 3 x^{3} \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) x^{5} + 3 \cdot (3 \cdot 3) x^{5} d x$

解题步骤 1.12

移动 $x^{3}$ 。

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) x^{5} + 3 \cdot (3 \cdot 3) x^{5} d x$

解题步骤 1.13

移动 $x^{3}$ 。

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot (3 \cdot 3) x^{5} d x$

解题步骤 1.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{3 + 3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

解题步骤 1.15

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\int x^{6} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

解题步骤 1.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{6 + 3} x^{5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

解题步骤 1.17

将 $6$ 和 $3$ 相加。

$\int x^{9} x^{5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

解题步骤 1.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{9 + 5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

解题步骤 1.19

将 $9$ 和 $5$ 相加。

$\int x^{14} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

解题步骤 1.20

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int x^{14} + 9 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

解题步骤 1.21

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{14} + 9 x^{3 + 3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

解题步骤 1.22

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\int x^{14} + 9 x^{6} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

解题步骤 1.23

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{14} + 9 x^{6 + 5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

解题步骤 1.24

将 $6$ 和 $5$ 相加。

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

解题步骤 1.25

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 9 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

解题步骤 1.26

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 27 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

解题步骤 1.27

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 27 x^{3 + 5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

解题步骤 1.28

将 $3$ 和 $5$ 相加。

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 27 x^{8} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

解题步骤 1.29

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 27 x^{8} + 9 \cdot 3 x^{5} d x$

解题步骤 1.30

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 27 x^{8} + 27 x^{5} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{14} d x + \int 9 x^{11} d x + \int 27 x^{8} d x + \int 27 x^{5} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{14}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{15} x^{15}$ 。

$\frac{1}{15} x^{15} + C + \int 9 x^{11} d x + \int 27 x^{8} d x + \int 27 x^{5} d x$

解题步骤 4

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$\frac{1}{15} x^{15} + C + 9 \int x^{11} d x + \int 27 x^{8} d x + \int 27 x^{5} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{11}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{12} x^{12}$ 。

$\frac{1}{15} x^{15} + C + 9 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + \int 27 x^{8} d x + \int 27 x^{5} d x$

解题步骤 6

由于 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $27$ 移到积分外。

$\frac{1}{15} x^{15} + C + 9 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + 27 \int x^{8} d x + \int 27 x^{5} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{8}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{9} x^{9}$ 。

$\frac{1}{15} x^{15} + C + 9 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + 27 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + \int 27 x^{5} d x$

解题步骤 8

由于 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $27$ 移到积分外。

$\frac{1}{15} x^{15} + C + 9 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + 27 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 27 \int x^{5} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$\frac{1}{15} x^{15} + C + 9 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + 27 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 27 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + 27 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{6}$ 。

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + 27 \frac{x^{6}}{6} + C$

解题步骤 10.2.2

组合 $27$ 和 $\frac{x^{6}}{6}$ 。

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + \frac{27 x^{6}}{6} + C$

解题步骤 10.2.3

约去 $27$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.1

从 $27 x^{6}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + \frac{3 (9 x^{6})}{6} + C$

解题步骤 10.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + \frac{3 (9 x^{6})}{3 (2)} + C$

解题步骤 10.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + \frac{3 (9 x^{6})}{3 \cdot 2} + C$

解题步骤 10.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + \frac{9 x^{6}}{2} + C$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$\frac{1}{15} x^{15} + \frac{3}{4} x^{12} + 3 x^{9} + \frac{9}{2} x^{6} + C$

微积分学 示例

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