微积分学示例

$f (x) = - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 3 x^{- 4} d x + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

解题步骤 4

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$- 3 \int x^{- 4} d x + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$- 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $x^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

解题步骤 6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

解题步骤 7

由于 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 \int x^{\frac{2}{3}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ 。

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$- \frac{- 1}{x^{3}} + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{1}{x^{3}} + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$

解题步骤 9.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{1}{x^{3}} + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$

解题步骤 9.2.3

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{3}} + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$

解题步骤 9.2.4

组合 $\frac{3}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{3}}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} + 10 \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

解题步骤 9.2.5

组合 $10$ 和 $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{10 (3 x^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

解题步骤 9.2.6

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{30 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

解题步骤 9.2.7

从 $30 x^{\frac{5}{3}}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{5 (6 x^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

解题步骤 9.2.8

约去公因数。

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解题步骤 9.2.8.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{5 (6 x^{\frac{5}{3}})}{5 (1)} + C$

解题步骤 9.2.8.2

约去公因数。

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{5 (6 x^{\frac{5}{3}})}{5 \cdot 1} + C$

解题步骤 9.2.8.3

重写表达式。

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{6 x^{\frac{5}{3}}}{1} + C$

解题步骤 9.2.8.4

用 $6 x^{\frac{5}{3}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} + C$

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