微积分学示例

$\frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

将 $\frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{2 x + 3}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 5

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (2 x + 3) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 6

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (2 x + 3) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int (2 x + 3) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 6.3

将负号移到分数的前面。

$\int (2 x + 3) x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

展开 $(2 x + 3) x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\int 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 x^{1 - \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int 2 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7.5

在公分母上合并分子。

$\int 2 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7.6

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7.7

将 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $3 x^{- \frac{1}{2}}$ 重新排序。

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 9

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 11

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 12

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简。

$6 x^{\frac{1}{2}} + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

解题步骤 13.2

化简。

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解题步骤 13.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$6 x^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 13.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

解题步骤 13.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 13.3

重新排序项。

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 14

答案是函数 $f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

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