微积分学示例

$\ln (1 + x^{2} + 2 y^{2})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \ln (y)$ 且 $g (y) = 1 + x^{2} + 2 y^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

解题步骤 1.3

使用 $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

解题步骤 2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

解题步骤 2.4

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

解题步骤 2.6

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (2 \frac{d}{d y} [y^{2}])$

解题步骤 2.7

组合 $2$ 和 $\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ 。

$\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (2 y)$

解题步骤 2.9

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.9.1

组合 $2$ 和 $\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} y$

解题步骤 2.9.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} y$

解题步骤 2.9.3

组合 $\frac{4}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ 和 $y$ 。

$\frac{4 y}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$

解题步骤 2.9.4

重新排序项。

$\frac{4 y}{x^{2} + 2 y^{2} + 1}$

微积分学 示例

微积分学示例