微积分学示例

$\int \frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}} d x$

解题步骤 1

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{x^{3} - 4 x - 1}{x^{3}} d x$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) x^{- 3} d x$

解题步骤 3

展开 $(x^{3} - 4 x - 1) x^{- 3}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x) x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int x^{3} x^{- 3} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int x^{3 - 3} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

解题步骤 3.4

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{2} \int x^{0} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

解题步骤 3.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

解题步骤 3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 (x^{1} x^{- 3}) - 1 x^{- 3} d x$

解题步骤 3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x^{1 - 3} - 1 x^{- 3} d x$

解题步骤 3.8

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x^{- 2} - 1 x^{- 3} d x$

解题步骤 3.9

将 $1$ 和 $- 4 x^{- 2}$ 重新排序。

$\frac{1}{2} \int - 4 x^{- 2} + 1 - 1 x^{- 3} d x$

解题步骤 3.10

移动 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int - 4 x^{- 2} - 1 x^{- 3} + 1 d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int - 4 x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

解题步骤 5

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (- 4 \int x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - \int x^{- 3} d x + \int d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int d x)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int d x)$

解题步骤 9.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int d x)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + x + C)$

解题步骤 11

化简。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x) + C$

微积分学 示例

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