微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} - x$

解题步骤 1

相乘以使分子有理化。

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} - x) (\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x)}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

使用 FOIL（先外后内）展开分子。

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)}}^{2} + \sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} x + \sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} (- x) - x^{2}}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 x + 4082420 + 0}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

解题步骤 2.2.2

将 $4041 x + 4082420$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 x + 4082420}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

解题步骤 3

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = \sqrt{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4041 x}{x} + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4041 x}{x} + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

解题步骤 4.1.2

用 $4041$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

解题步骤 4.2

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 4041 + \frac{4082420}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 4.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 4041 + lim_{x \to \infty} \frac{4082420}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 4.5

计算 $4041$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{4041 + lim_{x \to \infty} \frac{4082420}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 4.6

因为项 $4082420$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4041 + 4082420 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 6.2

将极限移入根号内。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7

运用洛必达法则。

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解题步骤 7.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 7.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 2020) (x + 2021)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 7.1.2.1

运用分配律。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x + 2021) + 2020 (x + 2021)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.1.2.2

运用分配律。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2021 + 2020 (x + 2021)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.1.2.3

运用分配律。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2021 + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.1.2.4

将 $x$ 和 $2021$ 重新排序。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + 2021 \cdot x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.1.2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.1.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.1.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.1.2.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 7.1.2.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.1.2.8.2

将 $2020$ 乘以 $2021$ 。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2021 x + 2020 x + 4082420}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.1.2.8.3

将 $2021 x$ 和 $2020 x$ 相加。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 4041 x + 4082420}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.1.2.9

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2020) (x + 2021)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 7.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 7.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2020) (x + 2021)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 2020$ 且 $g (x) = x + 2021$ 。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) \frac{d}{d x} [x + 2021] + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.3.3

根据加法法则， $x + 2021$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2021]$ 。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2021]) + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (1 + \frac{d}{d x} [2021]) + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.3.5

因为 $2021$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2021$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (1 + 0) + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) \cdot 1 + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.3.7

将 $x + 2020$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.3.8

根据加法法则， $x + 2020$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2020]$ 。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2020])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) (1 + \frac{d}{d x} [2020])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.3.10

因为 $2020$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2020$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.3.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.3.12

将 $x + 2021$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + x + 2021}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.3.13

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2020 + 2021}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.3.14

将 $2020$ 和 $2021$ 相加。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4041}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.3.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4041}{2 x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 8

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4041}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 9

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 10

计算极限值。

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解题步骤 10.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1

约去公因数。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 10.1.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 10.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1

约去公因数。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 10.2.2

重写表达式。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{4041}{x}}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 10.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{4041}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 10.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{4041}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 10.5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{4041}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 10.6

因为项 $4041$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 11

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 12

计算极限值。

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解题步骤 12.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 \cdot 0}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 12.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 \cdot 0}{1}} + 1}$

解题步骤 12.3

化简答案。

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解题步骤 12.3.1

用 $2 + 4041 \cdot 0$ 除以 $1$ 。

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 4041 \cdot 0)} + 1}$

解题步骤 12.3.2

化简分子。

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解题步骤 12.3.2.1

将 $4082420$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4041 + 0}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 4041 \cdot 0)} + 1}$

解题步骤 12.3.2.2

将 $4041$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 4041 \cdot 0)} + 1}$

解题步骤 12.3.3

化简分母。

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解题步骤 12.3.3.1

将 $4041$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 0)} + 1}$

解题步骤 12.3.3.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

解题步骤 12.3.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{2}{2}} + 1}$

解题步骤 12.3.3.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{4041}{\sqrt{1} + 1}$

解题步骤 12.3.3.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{4041}{1 + 1}$

解题步骤 12.3.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4041}{2}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{4041}{2}$

小数形式：

$2020.5$

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