微积分学示例

$\int \sin^{4} (e^{2 x}) \cos (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

解题步骤 1

使 $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ 。然后使 $d u_{3} = 2 e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sin (e^{2 x})$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (e^{2 x})]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = e^{2 x}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $e^{2 x}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 1.1.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $e^{2 x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\cos (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.1.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\cos (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.1.3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.1.4

求微分。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

解题步骤 1.1.4.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.4.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 2)$

解题步骤 1.1.4.3.2

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$\cos (e^{2 x}) (2 \cdot e^{2 x})$

解题步骤 1.1.4.3.3

重新排序 $\cos (e^{2 x}) (2 e^{2 x})$ 的因式。

$2 e^{2 x} \cos (e^{2 x})$

解题步骤 1.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$\int {u_{3}}^{4} \frac{1}{2} d u_{3}$

解题步骤 2

组合 ${u_{3}}^{4}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{4}}{2} d u_{3}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{4} d u_{3}$

解题步骤 4

根据幂法则， ${u_{3}}^{4}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{1}{5} {u_{3}}^{5}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 5} {u_{3}}^{5} + C$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{10} {u_{3}}^{5} + C$

解题步骤 6

使用 $\sin (e^{2 x})$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{10} \sin^{5} (e^{2 x}) + C$

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