微积分学示例

$- 2 x e^{1 - x^{2}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x e^{1 - x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{1 - x^{2}}$ 。

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}] + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x^{2}$ 。

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- (2 x))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (x^{1} x (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.8

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.8.2

将 $- 2$ 移到 $e^{1 - x^{2}}$ 的左侧。

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 1.10

将 $e^{1 - x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 1.11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.11.1

运用分配律。

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}})) - 2 e^{1 - x^{2}}$

解题步骤 1.11.2

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

解题步骤 1.11.3

重新排序项。

$4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$

解题步骤 1.11.4

将 $4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{1 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{1 - x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} e^{1 - x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{1 - x^{2}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2} e^{1 - x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{1 - x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{1 - x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{1 - x^{2}}$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $1 - x^{2}$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 2.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 2.2.4

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 2.2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 2.2.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 2.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - (2 x))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - (2 x))) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 2.2.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - 2 x)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 2.2.10

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 2.2.11

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.11.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = 4 (x \cdot x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 2.2.11.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 4 (x \cdot x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 2.2.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 4 (x^{1 + 2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 2.2.11.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = 4 (x^{3} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 2.2.12

将 $- 2$ 移到 $e^{1 - x^{2}}$ 的左侧。

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 e^{1 - x^{2}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 e^{1 - x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 \frac{d}{d x} e^{1 - x^{2}}$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 - x^{2}$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2}))$

解题步骤 2.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2}))$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2}))$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))$

解题步骤 2.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))$

解题步骤 2.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 - \frac{d}{d x} x^{2}))$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 - (2 x)))$

解题步骤 2.3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 - 2 x))$

解题步骤 2.3.8

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (- 2 x))$

解题步骤 2.3.9

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

解题步骤 2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}})) + 4 (e^{1 - x^{2}} (2 x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

解题步骤 2.4.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.1

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = - 8 (x^{3} (e^{1 - x^{2}})) + 4 (e^{1 - x^{2}} (2 x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

解题步骤 2.4.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = - 8 x^{3} e^{1 - x^{2}} + 8 (e^{1 - x^{2}} (x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

解题步骤 2.4.2.3

将 $8 e^{1 - x^{2}} x$ 和 $4 e^{1 - x^{2}} x$ 相加。

$f'' (x) = - 8 x^{3} e^{1 - x^{2}} + 12 e^{1 - x^{2}} x$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$f'' (x) = - 8 e^{1 - x^{2}} x^{3} + 12 e^{1 - x^{2}} x$

解题步骤 2.4.4

将 $- 8 e^{1 - x^{2}} x^{3} + 12 e^{1 - x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = - 8 x^{3} e^{1 - x^{2}} + 12 x e^{1 - x^{2}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x e^{1 - x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$

解题步骤 4.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{1 - x^{2}}$ 。

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}] + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x^{2}$ 。

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.3.3

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.4.1

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- (2 x))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.4.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (x^{1} x (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.8

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.8.2

将 $- 2$ 移到 $e^{1 - x^{2}}$ 的左侧。

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 4.1.10

将 $e^{1 - x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}})$

解题步骤 4.1.11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.11.1

运用分配律。

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}})) - 2 e^{1 - x^{2}}$

解题步骤 4.1.11.2

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

解题步骤 4.1.11.3

重新排序项。

$4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$

解题步骤 4.1.11.4

将 $4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = 4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$ 。

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

从 $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$ 中分解出因数 $2 e^{1 - x^{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

从 $4 x^{2} e^{1 - x^{2}}$ 中分解出因数 $2 e^{1 - x^{2}}$ 。

$2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2}) - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $- 2 e^{1 - x^{2}}$ 中分解出因数 $2 e^{1 - x^{2}}$ 。

$2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{1 - x^{2}} (- 1) = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{1 - x^{2}} (- 1)$ 中分解出因数 $2 e^{1 - x^{2}}$ 。

$2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{1 - x^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 5.4

将 $e^{1 - x^{2}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

将 $e^{1 - x^{2}}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{1 - x^{2}} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $e^{1 - x^{2}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{1 - x^{2}}) = \ln (0)$

解题步骤 5.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.4.2.3

$e^{1 - x^{2}} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.5

将 $2 x^{2} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1

将 $2 x^{2} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $2 x^{2} - 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x^{2} = 1$

解题步骤 5.5.2.2

将 $2 x^{2} = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.2.1

将 $2 x^{2} = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.5.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.5.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.5.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.5.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.4

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.4.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 8 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 8 \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.2.1

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$- 8 \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.2.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 8 \frac{\sqrt{8}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.2.3

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.2.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$- 8 \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.2.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- 8 \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.2.4

从根式下提出各项。

$- 8 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 8 \frac{2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.4

约去 $8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.4.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $8$ 。

$8 (- 1) \frac{2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.4.2

约去公因数。

$8 \cdot - 1 \frac{2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.4.3

重写表达式。

$- 1 (2 \sqrt{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.6

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.6.1

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.6.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.6.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.6.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.6.2.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.6.2.4.1

约去公因数。

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.6.2.4.2

重写表达式。

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.6.2.5

计算指数。

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.6.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.6.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.6.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.6.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.6.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.6.4.2.2

约去公因数。

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.6.4.2.3

重写表达式。

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.7

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.8

在公分母上合并分子。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.9

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.10

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.10.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 (6) \frac{\sqrt{2}}{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.10.2

约去公因数。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.10.3

重写表达式。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.11

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.11.1

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 9.1.11.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.11.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 9.1.11.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

解题步骤 9.1.11.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 9.1.11.2.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.11.2.4.1

约去公因数。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 9.1.11.2.4.2

重写表达式。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

解题步骤 9.1.11.2.5

计算指数。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

解题步骤 9.1.11.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}}$

解题步骤 9.1.11.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.11.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 9.1.11.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.11.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 9.1.11.4.2.2

约去公因数。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 9.1.11.4.2.3

重写表达式。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.1.12

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.1.13

在公分母上合并分子。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}}$

解题步骤 9.1.14

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 9.2

将 $- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ 和 $6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$4 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.1.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 (- 1) (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 11.2.1.1.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 11.2.1.1.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - 1 \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 11.2.1.2

将 $- 1 \sqrt{2}$ 重写为 $- \sqrt{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 11.2.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.2.1

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 11.2.2.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 11.2.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

解题步骤 11.2.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 11.2.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.2.2.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 11.2.2.2.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

解题步骤 11.2.2.2.5

计算指数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

解题步骤 11.2.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{4}}$

解题步骤 11.2.2.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.2.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 11.2.2.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.2.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 11.2.2.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 11.2.2.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{1}{2}}$

解题步骤 11.2.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

解题步骤 11.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2 - 1}{2}}$

解题步骤 11.2.3.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $- \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = - \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 12

计算在 $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 8 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1.1

对 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.1.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 8 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 8 (- \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.3.1

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$- 8 (- \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 8 (- \frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.3.3

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.3.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$- 8 (- \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.3.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- 8 (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.3.4

从根式下提出各项。

$- 8 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 8 (- \frac{2 \sqrt{2}}{8}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.5

约去 $8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.5.1

将 $- \frac{2 \sqrt{2}}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$- 8 \frac{- 2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.5.2

从 $- 8$ 中分解出因数 $8$ 。

$8 (- 1) \frac{- 2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.5.3

约去公因数。

$8 \cdot - 1 \frac{- 2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.5.4

重写表达式。

$- 1 (- 2 \sqrt{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \sqrt{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.7.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.7.1.1

对 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$2 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7.1.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$2 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.7.2.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7.2.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.7.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.7.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7.4.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.7.4.4.1

约去公因数。

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7.4.4.2

重写表达式。

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7.4.5

计算指数。

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7.6

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.7.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7.6.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.7.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7.6.2.2

约去公因数。

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7.6.2.3

重写表达式。

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.8

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.9

在公分母上合并分子。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.10

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.11

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.11.1

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 12 \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.11.2

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 (6) \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.11.3

约去公因数。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 6 \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.11.4

重写表达式。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 (- \sqrt{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.12

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.13

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.13.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.13.1.1

对 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

解题步骤 13.1.13.1.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 13.1.13.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.13.2.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.13.2.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.13.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.13.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.13.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.13.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.13.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.13.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.13.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.13.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.13.4.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.13.4.4.1

约去公因数。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.13.4.4.2

重写表达式。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.13.4.5

计算指数。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.13.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}}$

解题步骤 13.1.13.6

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.13.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 13.1.13.6.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.13.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 13.1.13.6.2.2

约去公因数。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 13.1.13.6.2.3

重写表达式。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}}$

解题步骤 13.1.14

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

解题步骤 13.1.15

在公分母上合并分子。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}}$

解题步骤 13.1.16

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 13.2

从 $2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ 中减去 $6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 4 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 15.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.1.1

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 15.2.1.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 (- 1) (\frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 15.2.1.1.3

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 15.2.1.1.4

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 1 (- \sqrt{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 15.2.1.2

乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 15.2.1.2.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 15.2.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.2.1.1

对 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

解题步骤 15.2.2.1.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

解题步骤 15.2.2.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.2.2.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 15.2.2.2.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.2.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

解题步骤 15.2.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 15.2.2.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 15.2.2.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 15.2.2.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 15.2.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

解题步骤 15.2.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 15.2.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.2.4.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 15.2.2.4.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

解题步骤 15.2.2.4.5

计算指数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

解题步骤 15.2.2.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{4}}$

解题步骤 15.2.2.6

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.2.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 15.2.2.6.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.2.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 15.2.2.6.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 15.2.2.6.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{1}{2}}$

解题步骤 15.2.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

解题步骤 15.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2 - 1}{2}}$

解题步骤 15.2.3.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 15.2.4

最终答案为 $\sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = - 2 x e^{1 - x^{2}}$ 的局部极值。

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}})$ 是一个局部最小值

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}})$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例