微积分学示例

$- \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

解题步骤 1

将 $- \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - \frac{3}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 6

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$- (3 \int \frac{1}{x^{2}} d x) + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 7.2

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 7.3

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 7.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 \int x^{- 2} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$- 3 (- x^{- 1} + C) + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 9

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 10

应用指数的基本规则。

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解题步骤 10.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 10.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 10.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 10.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int x^{- 3} d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简。

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解题步骤 12.1.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

解题步骤 12.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

解题步骤 12.2

化简。

$- 3 (- \frac{1}{x}) + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

解题步骤 12.3

化简。

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解题步骤 12.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$3 \frac{1}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

解题步骤 12.3.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{3}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

解题步骤 12.3.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3}{x} - 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 12.3.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 。

$\frac{3}{x} + \frac{- 4}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 12.3.5

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.5.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 12.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 12.3.5.2.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{2})} + C$

解题步骤 12.3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{3}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 12.3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{x} + \frac{- 2}{x^{2}} + C$

解题步骤 12.3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}} + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}} + C$

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