微积分学示例

$x y^{2} + \frac{x^{2}}{y} = 5$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + \frac{x^{2}}{y}) = \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $x y^{2} + \frac{x^{2}}{y}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

解题步骤 2.2.5

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

解题步骤 2.2.6

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y (2 x) - x^{2} y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.4

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$2 x y y' + y^{2} + \frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1.1

要将 $2 x y y'$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 。

$y^{2} + \frac{2 x y y' y^{2}}{y^{2}} + \frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4.1.2

在公分母上合并分子。

$y^{2} + \frac{2 x y y' y^{2} + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4.1.3

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1.3.1

移动 $y^{2}$ 。

$y^{2} + \frac{2 x (y^{2} y) y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4.1.3.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1.3.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y^{2} + \frac{2 x (y^{2} y^{1}) y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y^{2} + \frac{2 x y^{2 + 1} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4.1.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y^{2} + \frac{2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4.1.4

要将 $y^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 。

$\frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + \frac{2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{y^{2} y^{2} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4.1.6

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y^{2 + 2} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4.1.6.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{y^{4} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4.2

重新排序项。

$\frac{y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

解题步骤 3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y'}{y^{2}} = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将分子设为等于零。

$y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y' = 0$

解题步骤 5.2

求解 $y'$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

从等式两边同时减去 $y^{4}$ 。

$2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y' = - y^{4}$

解题步骤 5.2.1.2

从等式两边同时减去 $2 x y$ 。

$2 y^{3} x y' - x^{2} y' = - y^{4} - 2 x y$

解题步骤 5.2.2

从 $2 y^{3} x y' - x^{2} y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

从 $2 y^{3} x y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (2 y^{3}) - x^{2} y' = - y^{4} - 2 x y$

解题步骤 5.2.2.2

从 $- x^{2} y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (2 y^{3}) + x y' (- x) = - y^{4} - 2 x y$

解题步骤 5.2.2.3

从 $x y' (2 y^{3}) + x y' (- x)$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$

解题步骤 5.2.3

将 $x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$ 中的每一项除以 $x (2 y^{3} - x)$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

将 $x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$ 中的每一项都除以 $x (2 y^{3} - x)$ 。

$\frac{x y' (2 y^{3} - x)}{x (2 y^{3} - x)} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

解题步骤 5.2.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y' (2 y^{3} - x)}{x (2 y^{3} - x)} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

解题步骤 5.2.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (2 y^{3} - x)}{2 y^{3} - x} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

解题步骤 5.2.3.2.2

约去 $2 y^{3} - x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (2 y^{3} - x)}{2 y^{3} - x} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

解题步骤 5.2.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

解题步骤 5.2.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

解题步骤 5.2.3.3.1.2

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.3.1.2.1

约去公因数。

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

解题步骤 5.2.3.3.1.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 y}{2 y^{3} - x}$

解题步骤 5.2.3.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y}{2 y^{3} - x}$

解题步骤 5.2.3.3.2

要将 $- \frac{2 y}{2 y^{3} - x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y}{2 y^{3} - x} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 5.2.3.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x (2 y^{3} - x)$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.3.3.1

将 $\frac{2 y}{2 y^{3} - x}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y x}{(2 y^{3} - x) x}$

解题步骤 5.2.3.3.3.2

重新排序 $(2 y^{3} - x) x$ 的因式。

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

解题步骤 5.2.3.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- y^{4} - 2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

解题步骤 5.2.3.3.5

从 $- y^{4} - 2 y x$ 中分解出因数 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.3.5.1

从 $- y^{4}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- y^{3}) - 2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

解题步骤 5.2.3.3.5.2

从 $- 2 y x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- y^{3}) + y (- 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

解题步骤 5.2.3.3.5.3

从 $y (- y^{3}) + y (- 2 x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- y^{3} - 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

解题步骤 5.2.3.3.6

从 $- y^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (- (y^{3}) - 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

解题步骤 5.2.3.3.7

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (- (y^{3}) - (2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

解题步骤 5.2.3.3.8

从 $- (y^{3}) - (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (- (y^{3} + 2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

解题步骤 5.2.3.3.9

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.3.9.1

将 $- (y^{3} + 2 x)$ 重写为 $- 1 (y^{3} + 2 x)$ 。

$y' = \frac{y (- 1 (y^{3} + 2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

解题步骤 5.2.3.3.9.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y (y^{3} + 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y^{3} + 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

微积分学 示例

微积分学示例