微积分学示例

$3^{x} + 2021$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3^{x} + 2021$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [2021]$ 。

$\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [2021]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $3$ 。

$3^{x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [2021]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $2021$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2021$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3^{x} \ln (3) + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $3^{x} \ln (3)$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3^{x} \ln (3)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\ln (3)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3^{x} \ln (3)$ 对 $x$ 的导数是 $\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ 。

$\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $3$ 。

$\ln (3) (3^{x} \ln (3))$

解题步骤 2.3

对 $\ln (3)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3^{x} (\ln^{1} (3) \ln (3))$

解题步骤 2.4

对 $\ln (3)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3^{x} (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))$

解题步骤 2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3^{x} {\ln (3)}^{1 + 1}$

解题步骤 2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 3^{x} \ln^{2} (3)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $\ln^{2} (3)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3^{x} \ln^{2} (3)$ 对 $x$ 的导数是 $\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ 。

$\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $3$ 。

$\ln^{2} (3) (3^{x} \ln (3))$

解题步骤 3.3

通过指数相加将 $\ln^{2} (3)$ 乘以 $\ln (3)$ 。

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解题步骤 3.3.1

移动 $\ln (3)$ 。

$\ln (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x}$

解题步骤 3.3.2

将 $\ln (3)$ 乘以 $\ln^{2} (3)$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

对 $\ln (3)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln^{1} (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x}$

解题步骤 3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\ln (3)}^{1 + 2} \cdot 3^{x}$

解题步骤 3.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\ln^{3} (3) \cdot 3^{x}$

解题步骤 3.4

重新排序 $\ln^{3} (3) \cdot 3^{x}$ 的因式。

$f''' (x) = 3^{x} \ln^{3} (3)$

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