微积分学示例

$x \sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

将 $x \sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x \sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x \sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 4.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 4.2.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 8

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 9.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 9.3

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 9.4

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 9.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 9.4.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 11.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = x \sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$

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