微积分学示例

$\int \frac{x^{5}}{x^{3} - 1} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

使用多项式长除法进行相除。

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解题步骤 1.1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 1.1.2

将被除数中的最高阶项 $x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{3}$ 。

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 1.1.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

解题步骤 1.1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{5} + 0 + 0 - x^{2}$ 中的所有符号

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

解题步骤 1.1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

解题步骤 1.1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 1.1.7

最终答案为商加上余数除以除数。

$x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$

解题步骤 1.2

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.2.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{x^{2}}{x^{3} - 1^{3}}$

解题步骤 1.2.1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 1.2.1.3

化简。

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解题步骤 1.2.1.3.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

解题步骤 1.2.1.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

解题步骤 1.2.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 1}$

解题步骤 1.2.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 1.2.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ 。

$\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 1.2.5

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 1.2.5.2

重写表达式。

$\frac{x^{2} (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 1.2.6

约去 $x^{2} + x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 1.2.6.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 1.2.7

化简每一项。

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解题步骤 1.2.7.1

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.1.1

约去公因数。

$x^{2} = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 1.2.7.1.2

用 $(A) (x^{2} + x + 1)$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 1.2.7.2

运用分配律。

$x^{2} = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 1.2.7.3

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 1.2.7.4

约去 $x^{2} + x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.4.1

约去公因数。

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 1.2.7.4.2

用 $(B x + C) (x - 1)$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

解题步骤 1.2.7.5

使用 FOIL 方法展开 $(B x + C) (x - 1)$ 。

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解题步骤 1.2.7.5.1

运用分配律。

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

解题步骤 1.2.7.5.2

运用分配律。

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

解题步骤 1.2.7.5.3

运用分配律。

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

解题步骤 1.2.7.6

化简每一项。

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解题步骤 1.2.7.6.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.7.6.1.1

移动 $x$ 。

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

解题步骤 1.2.7.6.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

解题步骤 1.2.7.6.2

将 $- 1$ 移到 $B x$ 的左侧。

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

解题步骤 1.2.7.6.3

将 $- 1 (B x)$ 重写为 $- (B x)$ 。

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

解题步骤 1.2.7.6.4

将 $- 1$ 移到 $C$ 的左侧。

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

解题步骤 1.2.7.6.5

将 $- 1 C$ 重写为 $- C$ 。

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

解题步骤 1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 1.2.8.1

将 $B$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

解题步骤 1.2.8.2

移动 $B$ 。

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

解题步骤 1.2.8.3

移动 $A$ 。

$x^{2} = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

解题步骤 1.2.8.4

移动 $A x$ 。

$x^{2} = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

解题步骤 1.3

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.3.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + B$

解题步骤 1.3.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A - 1 B + C$

解题步骤 1.3.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A - 1 C$

解题步骤 1.3.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

$1 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

解题步骤 1.4

求解方程组。

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解题步骤 1.4.1

在 $1 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.4.1.1

将方程重写为 $A + B = 1$ 。

$A + B = 1$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

解题步骤 1.4.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

解题步骤 1.4.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1 - B$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

使用 $1 - B$ 替换 $0 = A - 1 B + C$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = (1 - B) - 1 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

解题步骤 1.4.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简 $(1 - B) - 1 B + C$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$0 = 1 - B - B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

从 $- B$ 中减去 $B$ 。

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

解题步骤 1.4.2.3

使用 $1 - B$ 替换 $0 = A - 1 C$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = (1 - B) - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.4.2.4

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.4.1

将 $- 1 C$ 重写为 $- C$ 。

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.4.3

将 $1$ 和 $- B$ 重新排序。

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

解题步骤 1.4.4

在 $0 = 1 - 2 B + C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 1.4.4.1

将方程重写为 $1 - 2 B + C = 0$ 。

$1 - 2 B + C = 0$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

解题步骤 1.4.4.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.4.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 B + C = - 1$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

解题步骤 1.4.4.2.2

在等式两边都加上 $2 B$ 。

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

解题步骤 1.4.5

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $- 1 + 2 B$ 。

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解题步骤 1.4.5.1

使用 $- 1 + 2 B$ 替换 $0 = 1 - B - C$ 中所有出现的 $C$ .

$0 = 1 - B - (- 1 + 2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.5.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.5.2.1

化简 $1 - B - (- 1 + 2 B)$ 。

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解题步骤 1.4.5.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.5.2.1.1.1

运用分配律。

$0 = 1 - B + 1 - (2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.5.2.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 = 1 - B + 1 - (2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.5.2.1.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 = 1 - B + 1 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B + 1 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.5.2.1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.4.5.2.1.2.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$0 = - B + 2 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.5.2.1.2.2

从 $- B$ 中减去 $2 B$ 。

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.6

在 $0 = - 3 B + 2$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.4.6.1

将方程重写为 $- 3 B + 2 = 0$ 。

$- 3 B + 2 = 0$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.6.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- 3 B = - 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.6.3

将 $- 3 B = - 2$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 1.4.6.3.1

将 $- 3 B = - 2$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.6.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.6.3.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.6.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.6.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.4.6.3.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.7

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $\frac{2}{3}$ 。

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解题步骤 1.4.7.1

使用 $\frac{2}{3}$ 替换 $C = - 1 + 2 B$ 中所有出现的 $B$ .

$C = - 1 + 2 (\frac{2}{3})$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.7.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.7.2.1

化简 $- 1 + 2 (\frac{2}{3})$ 。

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解题步骤 1.4.7.2.1.1

乘以 $2 (\frac{2}{3})$ 。

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解题步骤 1.4.7.2.1.1.1

组合 $2$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$C = - 1 + \frac{2 \cdot 2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.7.2.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$C = - 1 + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = - 1 + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.7.2.1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$C = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.7.2.1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$C = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.7.2.1.4

在公分母上合并分子。

$C = \frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.7.2.1.5

化简分子。

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解题步骤 1.4.7.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$C = \frac{- 3 + 4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.7.2.1.5.2

将 $- 3$ 和 $4$ 相加。

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

解题步骤 1.4.7.3

使用 $\frac{2}{3}$ 替换 $A = - B + 1$ 中所有出现的 $B$ .

$A = - (\frac{2}{3}) + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

解题步骤 1.4.7.4

化简右边。

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解题步骤 1.4.7.4.1

化简 $- (\frac{2}{3}) + 1$ 。

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解题步骤 1.4.7.4.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$A = - \frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

解题步骤 1.4.7.4.1.2

在公分母上合并分子。

$A = \frac{- 2 + 3}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

解题步骤 1.4.7.4.1.3

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

解题步骤 1.4.8

列出所有解。

$A = \frac{1}{3}, C = \frac{1}{3}, B = \frac{2}{3}$

解题步骤 1.5

将 $x^{2} + \frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{2}{3 x} + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

将分数的分子和分母乘以 $3$ 。

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解题步骤 1.6.1.1

将 $\frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 1.6.1.2

合并。

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x + \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + x + 1)}$

解题步骤 1.6.2

运用分配律。

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.3

化简项。

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解题步骤 1.6.3.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.3.1.1

约去公因数。

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.3.1.2

重写表达式。

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.3.2.1

约去公因数。

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3}) \cdot x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.3.2.2

重写表达式。

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.3.3

从 $3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.6.3.3.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.3.3.2

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.3.3.3

从 $3 \cdot 1$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 (1)}$

解题步骤 1.6.3.3.4

从 $3 (x^{2}) + 3 (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x) + 3 (1)}$

解题步骤 1.6.3.3.5

从 $3 (x^{2} + x) + 3 (1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

解题步骤 1.6.4

将分子乘以分母的倒数。

$x^{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

解题步骤 1.6.5

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x - 1}$ 。

$\int x^{2} + \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{2} d x + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

解题步骤 5

使 $u_{1} = x - 1$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{1} = x - 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

解题步骤 6

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x$

解题步骤 8

使 $u_{2} = x^{2} + x + 1$ 。然后使 $d u_{2} = (2 x + 1) d x$ ，以便 $\frac{1}{2 x + 1} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u_{2} = x^{2} + x + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $x^{2} + x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

解题步骤 8.1.2

根据加法法则， $x^{2} + x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 8.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 8.1.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 1 + 0$

解题步骤 8.1.6

将 $2 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$2 x + 1$

解题步骤 8.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 9

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

解题步骤 10

化简。

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 11

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 11.1

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 11.2

使用 $x^{2} + x + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{3} \ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$

微积分学 示例

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