微积分学示例

$f (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \int x^{- 2} d x$

$- \int x^{- 2} d x$

$- \int x^{- 2} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$- (- x^{- 1} + C)$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将 $- (- x^{- 1} + C)$ 重写为 $- - \frac{1}{x} + C$ 。

$- - \frac{1}{x} + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{1}{x} + C$

解题步骤 6.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x} + C$

$\frac{1}{x} + C$

$\frac{1}{x} + C$

解题步骤 7

答案是函数 $f (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{x} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$