微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 x^{- 1}}{x + 4 x^{- 1}}$

解题步骤 1

化简项。

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解题步骤 1.1

化简极限自变量。

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解题步骤 1.1.1

将负指数转换成分数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 \frac{1}{x}}{x + 4 x^{- 1}}$

解题步骤 1.1.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 \frac{1}{x}}{x + 4 \frac{1}{x}}$

解题步骤 1.1.2

合并因数。

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解题步骤 1.1.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + \frac{2}{x}}{x + 4 \frac{1}{x}}$

解题步骤 1.1.2.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + \frac{2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

解题步骤 1.1.3

合并项。

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解题步骤 1.1.3.1

要将 $3 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x}{x} + \frac{2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

解题步骤 1.1.3.2

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

解题步骤 1.1.3.3

要将 $x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{\frac{x \cdot x}{x} + \frac{4}{x}}$

解题步骤 1.1.3.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{\frac{x \cdot x + 4}{x}}$

解题步骤 1.2

化简极限自变量。

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解题步骤 1.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x \cdot x + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

解题步骤 1.2.2

合并因数。

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解题步骤 1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (x^{1} x) + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

解题步骤 1.2.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (x^{1} x^{1}) + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

解题步骤 1.2.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{1 + 1} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

解题步骤 1.2.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

解题步骤 1.2.2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{1} x + 4}$

解题步骤 1.2.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{1} x^{1} + 4}$

解题步骤 1.2.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{1 + 1} + 4}$

解题步骤 1.2.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.2.2.9

将 $\frac{3 x^{2} + 2}{x}$ 乘以 $\frac{x}{x^{2} + 4}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{(3 x^{2} + 2) x}{x (x^{2} + 4)}$

解题步骤 1.2.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{(3 x^{2} + 2) x}{x (x^{2} + 4)}$

解题步骤 1.2.3.2

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x^{2} + 4}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

解题步骤 4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

解题步骤 6

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 4}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 4}$

解题步骤 9

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4}$

解题步骤 10

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4}$

解题步骤 10.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 2}{0^{2} + 4}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0^{2} + 4}$

解题步骤 11.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 2}{0^{2} + 4}$

解题步骤 11.1.3

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2}{0^{2} + 4}$

解题步骤 11.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2}{0 + 4}$

解题步骤 11.2.2

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$\frac{2}{4}$

解题步骤 11.3

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{4}$

解题步骤 11.3.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 11.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 11.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

微积分学 示例

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