微积分学示例

$y' + y'' = 6 e^{2 x}$ , $y = e^{2 x}$

解题步骤 1

求 $y'$ 。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

解题步骤 1.2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 1.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.2

求微分。

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解题步骤 1.3.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

解题步骤 1.3.2.3

化简表达式。

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解题步骤 1.3.2.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 x} \cdot 2$

解题步骤 1.3.2.3.2

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$2 e^{2 x}$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 2 e^{2 x}$

解题步骤 2

求 $y''$ 。

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解题步骤 2.1

建立导数。

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.4

去掉圆括号。

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

解题步骤 2.8

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$y'' = 4 e^{2 x}$

解题步骤 3

代入给定的微分方程。

$2 e^{2 x} + 4 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

解题步骤 4

将 $2 e^{2 x}$ 和 $4 e^{2 x}$ 相加。

$6 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

解题步骤 5

给定的解满足给定微分方程。

$y = e^{2 x}$ 是 $y' + y'' = 6 e^{2 x}$ 的解

微积分学 示例

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