微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 2 \sqrt{y + 1} \cos (x)$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{y + 1}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y + 1}} (2 \sqrt{y + 1} \cos (x))$

解题步骤 1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{y + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{1}{\sqrt{y + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 (\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \cdot \frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}) (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

解题步骤 1.2.3

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{y + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1} \sqrt{y + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

解题步骤 1.2.3.2

对 $\sqrt{y + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1} \sqrt{y + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

解题步骤 1.2.3.3

对 $\sqrt{y + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1} {\sqrt{y + 1}}^{1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

解题步骤 1.2.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1 + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

解题步骤 1.2.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{2}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

解题步骤 1.2.3.6

将 ${\sqrt{y + 1}}^{2}$ 重写为 $y + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y + 1}$ 重写成 ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

解题步骤 1.2.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

解题步骤 1.2.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

解题步骤 1.2.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

解题步骤 1.2.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

解题步骤 1.2.3.6.5

化简。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{y + 1} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

解题步骤 1.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{\sqrt{y + 1}}{y + 1}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{y + 1}}{y + 1} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

解题步骤 1.2.5

乘以 $\frac{2 \sqrt{y + 1}}{y + 1} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.1

组合 $\sqrt{y + 1}$ 和 $\frac{2 \sqrt{y + 1}}{y + 1}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{y + 1} (2 \sqrt{y + 1})}{y + 1} \cos (x)$

解题步骤 1.2.5.2

对 $\sqrt{y + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 ({\sqrt{y + 1}}^{1} \sqrt{y + 1})}{y + 1} \cos (x)$

解题步骤 1.2.5.3

对 $\sqrt{y + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 ({\sqrt{y + 1}}^{1} {\sqrt{y + 1}}^{1})}{y + 1} \cos (x)$

解题步骤 1.2.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{1 + 1}}{y + 1} \cos (x)$

解题步骤 1.2.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{2}}{y + 1} \cos (x)$

解题步骤 1.2.5.6

组合 $\frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{2}}{y + 1}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{2} \cos (x)}{y + 1}$

解题步骤 1.2.6

将 ${\sqrt{y + 1}}^{2}$ 重写为 $y + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y + 1}$ 重写成 ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos (x)}{y + 1}$

解题步骤 1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos (x)}{y + 1}$

解题步骤 1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{2}{2}} \cos (x)}{y + 1}$

解题步骤 1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{2}{2}} \cos (x)}{y + 1}$

解题步骤 1.2.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{1} \cos (x)}{y + 1}$

解题步骤 1.2.6.5

化简。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (y + 1) \cos (x)}{y + 1}$

解题步骤 1.2.7

约去 $y + 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (y + 1) \cos (x)}{y + 1}$

解题步骤 1.2.7.2

用 $2 \cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \cos (x)$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} d y = 2 \cos (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{y + 1}} d y = \int 2 \cos (x) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

使 $u = y + 1$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

设 $u = y + 1$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.2

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.2.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int 2 \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.2.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int 2 \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 2 \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.4

使用 $y + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 2 \cos (x) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\sin (x) + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简。

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \sin (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 \sin (x) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 \sin (x) + K$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

将 $2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 \sin (x) + K$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.2.2

用 ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

${(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.3.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.3.1.1

约去公因数。

${(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

${(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = \sin (x) + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3

化简指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1

化简 ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1.1

将 ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

${(y + 1)}^{1} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.2

化简。

$y + 1 = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

化简 ${(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$ 重写为 $(\sin (x) + \frac{K}{2}) (\sin (x) + \frac{K}{2})$ 。

$y + 1 = (\sin (x) + \frac{K}{2}) (\sin (x) + \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (x) + \frac{K}{2}) (\sin (x) + \frac{K}{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.2.1

运用分配律。

$y + 1 = \sin (x) (\sin (x) + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\sin (x) + \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

运用分配律。

$y + 1 = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\sin (x) + \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2.3

运用分配律。

$y + 1 = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.3.1.1

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y + 1 = \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y + 1 = \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + 1 = {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.2

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{K}{2}$ 。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.3

组合 $\frac{K}{2}$ 和 $\sin (x)$ 。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4

乘以 $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.1

将 $\frac{K}{2}$ 乘以 $\frac{K}{2}$ 。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.2

对 $K$ 进行 $1$ 次方运算。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.3

对 $K$ 进行 $1$ 次方运算。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2

将 $\frac{\sin (x) K}{2}$ 和 $\frac{K \sin (x)}{2}$ 相加。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.3.2.1

将 $\sin (x)$ 和 $K$ 重新排序。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2.2

将 $\frac{K \sin (x)}{2}$ 和 $\frac{K \sin (x)}{2}$ 相加。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + 2 \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.4.1

约去公因数。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + 2 \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4.2

重写表达式。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + K \sin (x) + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = \sin^{2} (x) + K \sin (x) + \frac{K^{2}}{4} - 1$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sin^{2} (x) + K \sin (x) + K$

微积分学 示例

微积分学示例