微积分学示例

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{4}{7} {(\frac{7}{6})}^{i - 1}$

解题步骤 1

无穷等比数列的和可以用公式 $\frac{a}{1 - r}$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将 $a_{i}$ 和 $a_{i + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

约去 $\frac{4}{7}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$r = \frac{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

解题步骤 2.2.2

约去 ${(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}$ 和 ${(\frac{7}{6})}^{i - 1}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 ${(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}$ 中分解出因数 ${(\frac{7}{6})}^{i - 1}$ 。

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

解题步骤 2.2.2.2.4

用 ${(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$ 除以 $1$ 。

$r = {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$

解题步骤 2.2.3

将 $i$ 和 $0$ 相加。

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - (i - 1)}$

解题步骤 2.2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.2.4.1

运用分配律。

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - i - - 1}$

解题步骤 2.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - i + 1}$

解题步骤 2.2.5

从 $i$ 中减去 $i$ 。

$r = {(\frac{7}{6})}^{0 + 1}$

解题步骤 2.2.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$r = {(\frac{7}{6})}^{1}$

解题步骤 2.2.7

化简。

$r = \frac{7}{6}$

解题步骤 3

判断级数是收敛还是发散的。

由于 $| r | \geq 1$ ，级数发散。

微积分学 示例

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