微积分学示例

$f (x) = 4 x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{x}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 4 x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 x^{2} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int x^{2} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 8

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int x^{\frac{1}{3}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 10.1.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 10.2

化简。

$\frac{4 x^{3}}{3} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$\frac{4}{3} x^{3} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = 4 x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{4}{3} x^{3} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

微积分学 示例

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