微积分学示例

$\int \frac{x}{e^{2 x}} d x$

解题步骤 1

化简表达式。

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解题步骤 1.1

将 $e^{2 x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\int x {(e^{2 x})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.2

将 ${(e^{2 x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int x e^{2 x \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\int x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- 2 x}$ 。

$x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

解题步骤 3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 。

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

解题步骤 4

由于 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 5.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6

使 $u = - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 6.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 7

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 7.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

解题步骤 11

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

将 $- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ 。

$- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

解题步骤 12.2

化简。

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解题步骤 12.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

解题步骤 12.2.2

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

解题步骤 13

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

解题步骤 14

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

解题步骤 15

重新排序项。

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

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